5、设f(x)在 x=2 处连续,且 lim _(xarrow 2)dfrac (f(x))(x-2)=3, 求f`(2)。

本题考查函数连续性以及导数的定义。解题的关键在于利用函数连续性求出$f(2)$的值，再根据导数的定义求出$f^\prime(2)$。

1. 根据极限存在的条件求$f(2)$的值：
   已知$\lim _{x\rightarrow 2}\dfrac {f(x)}{x - 2}=3$，当$x\rightarrow 2$时，分母$x - 2\rightarrow 0$。因为该极限值存在且为$3$，若$\lim\limits_{x\rightarrow 2}f(x)\neq0$，则$\lim _{x\rightarrow 2}\dfrac {f(x)}{x - 2}$为无穷大，这与已知极限值为$3$矛盾，所以$\lim\limits_{x\rightarrow 2}f(x)=0$。
   又因为$f(x)$在$x = 2$处连续，根据函数在某点连续的定义：$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$，可得$f(2)=\lim\limits_{x\rightarrow 2}f(x)=0$。
2. 根据导数的定义求$f^\prime(2)$的值：
   根据导数的定义，函数$f(x)$在$x = 2$处的导数$f^\prime(2)=\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{f(x)-f(2)}{x - 2}$。
   由步骤1已求得$f(2)=0$，将其代入上式可得$f^\prime(2)=\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{f(x)-0}{x - 2}=\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{f(x)}{x - 2}$。
   已知$\lim _{x\rightarrow 2}\dfrac {f(x)}{x - 2}=3$，所以$f^\prime(2)=3$。