15.单选题(4分) 设A为3阶非零矩阵，A^2=0，则A的线性无关的特征向量的个数等于()A. 2B. 3C. 1D. 0

本题主要考察矩阵特征值与特征向量的相关知识，具体涉及幂零矩阵的性质及及线性无关特征向量的个数判定，关键思路如下：

步骤1：确定矩阵$A$的特征值

设$\lambda$是$A$的任意特征值，$\alpha$是对应的特征向量，则$A\alpha=\lambda\alpha$。
对$A^2=0$两边左乘$\alpha$，得$A^2\alpha=A(A\alpha)=A(\lambda\alpha)=\lambda(A\alpha)=\lambda^2\alpha=0$。
因$\alpha\neq0$，故$\lambda^^2=0$，即$\lambda=0$是$A$的唯一特征值。

步骤2：：分析线性无关特征向量的个数

线性无关特征向量的个数等于$n-\text{rank}(A)$（$n\text{rank}(A)$为矩阵$A$的秩，$n=3$）。
因$A\text{rank}(A)\geq1$（$A$非零），且$A^2=0$，由幂零矩阵性质知$\text{rank}(A)\leq n/2=1.5$，故$\text{rank}(A}=1$。
因此，线性无关特征向量的个数为$3-1=2$。

结论

$A$的线性无关特征向量的个数为2。