设随机变量 X_1, X_2, ldots, X_n 独立同分布，且方差为 sigma^2 > 0。令 Y = (1)/(n) sum_(i=1)^n X_i，则 _______。 A. (Cov)(X_1, Y)= sigma^2 / n；B. (Cov)(X_1, Y)= sigma^2；C. D(X_1 + Y)= (n+2)sigma^2 / n；D. D(X_1 - Y)= (n+1)sigma^2 / n。

考查要点：本题主要考查协方差与方差的性质，特别是涉及独立同分布随机变量的线性组合时的应用。

解题核心思路：

1. 协方差计算：利用协方差的线性性质，结合独立变量协方差为0的特点，快速求解$\text{Cov}(X_1, Y)$。
2. 方差展开：将$X_1 + Y$和$X_1 - Y$表示为独立随机变量的线性组合，通过方差的可加性计算最终结果。

破题关键点：

• 独立变量的协方差为0：当$i \neq j$时，$\text{Cov}(X_i, X_j) = 0$。
• 方差的线性性质：对于独立变量，方差可直接相加，无需考虑协方差项。

选项A与B：$\text{Cov}(X_1, Y)$的计算

协方差展开

由协方差的线性性质：
$\text{Cov}(X_1, Y) = \text{Cov}\left(X_1, \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \text{Cov}(X_1, X_i).$

利用独立性简化

当$i=1$时，$\text{Cov}(X_1, X_1) = \text{Var}(X_1) = \sigma^2$；当$i \neq 1$时，$\text{Cov}(X_1, X_i) = 0$。因此：
$\text{Cov}(X_1, Y) = \frac{1}{n} \cdot \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}.$
结论：选项A正确，选项B错误。

选项C：$D(X_1 + Y)$的计算

表达式展开

$X_1 + Y = X_1 + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \frac{(n+1)X_1 + \sum_{i=2}^n X_i}{n}.$

方差计算

由于$X_1, X_2, \ldots, X_n$独立，方差可加：
$\begin{aligned}D(X_1 + Y) &= \frac{1}{n^2} \left[ (n+1)^2 \text{Var}(X_1) + \sum_{i=2}^n \text{Var}(X_i) \right] \\&= \frac{1}{n^2} \left[ (n+1)^2 \sigma^2 + (n-1)\sigma^2 \right] \\&= \frac{(n^2 + 2n + 1 + n - 1)\sigma^2}{n^2} \\&= \frac{(n^2 + 3n)\sigma^2}{n^2} = \frac{(n+3)\sigma^2}{n}.\end{aligned}$
结论：选项C错误。

选项D：$D(X_1 - Y)$的计算

表达式展开

$X_1 - Y = X_1 - \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \frac{(n-1)X_1 - \sum_{i=2}^n X_i}{n}.$

方差计算

同样利用独立性：
$\begin{aligned}D(X_1 - Y) &= \frac{1}{n^2} \left[ (n-1)^2 \text{Var}(X_1) + \sum_{i=2}^n \text{Var}(X_i) \right] \\&= \frac{1}{n^2} \left[ (n-1)^2 \sigma^2 + (n-1)\sigma^2 \right] \\&= \frac{(n^2 - 2n + 1 + n - 1)\sigma^2}{n^2} \\&= \frac{(n^2 - n)\sigma^2}{n^2} = \frac{(n-1)\sigma^2}{n}.\end{aligned}$
结论：选项D错误。