题目
15.填空题设Xsim N(10,0.6),Ysim N(1,2)，且X与Y相互独立，则E(3X-Y)=____，Var(3X-Y)=____.
15.填空题
设$X\sim N(10,0.6),Y\sim N(1,2)$，且$X与Y$相互独立，则
$E(3X-Y)=$____，$Var(3X-Y)=$____.
题目解答
答案
根据正态分布的性质，有 $E(X) = 10$，$E(Y) = 1$，$Var(X) = 0.6$，$Var(Y) = 2$。
利用期望的线性性质：
\[
E(3X - Y) = 3E(X) - E(Y) = 3 \times 10 - 1 = 29
\]
利用方差的性质（独立变量）：
\[
Var(3X - Y) = 9Var(X) + Var(Y) = 9 \times 0.6 + 2 = 7.4
\]
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
E(3X - Y) = & 29 \\
Var(3X - Y) = & 7.4 \text{ 或 } \frac{37}{5}
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：计算期望 $E(3X - Y)$
根据期望的线性性质，有 $E(3X - Y) = 3E(X) - E(Y)$。由于 $X\sim N(10,0.6)$，$Y\sim N(1,2)$，则 $E(X) = 10$，$E(Y) = 1$。因此，$E(3X - Y) = 3 \times 10 - 1 = 29$。
步骤 2：计算方差 $Var(3X - Y)$
根据方差的性质（独立变量），有 $Var(3X - Y) = 9Var(X) + Var(Y)$。由于 $X\sim N(10,0.6)$，$Y\sim N(1,2)$，则 $Var(X) = 0.6$，$Var(Y) = 2$。因此，$Var(3X - Y) = 9 \times 0.6 + 2 = 7.4$。
根据期望的线性性质，有 $E(3X - Y) = 3E(X) - E(Y)$。由于 $X\sim N(10,0.6)$，$Y\sim N(1,2)$，则 $E(X) = 10$，$E(Y) = 1$。因此，$E(3X - Y) = 3 \times 10 - 1 = 29$。
步骤 2：计算方差 $Var(3X - Y)$
根据方差的性质（独立变量），有 $Var(3X - Y) = 9Var(X) + Var(Y)$。由于 $X\sim N(10,0.6)$，$Y\sim N(1,2)$，则 $Var(X) = 0.6$，$Var(Y) = 2$。因此，$Var(3X - Y) = 9 \times 0.6 + 2 = 7.4$。