某医院欲估计一名医生花在每个病人身上的平均时间,根据以往经验看病时间的标准差6分钟。若要求置信度为95%,允许误差范围2分钟。试问随机抽样中需要的样本容量为A. 30B. 34C. 35D. 40

考查要点：本题主要考查样本容量的计算，涉及置信区间和允许误差的概念，需要掌握正态分布的临界值及公式应用。

解题核心思路：

1. 确定公式：样本容量公式为 $n = \left( \frac{Z \cdot \sigma}{E} \right)^2$，其中 $Z$ 是置信度对应的临界值，$\sigma$ 是标准差，$E$ 是允许误差。
2. 代入已知值：95%置信度对应 $Z=1.96$，$\sigma=6$，$E=2$，计算后向上取整得到整数样本量。
3. 验证合理性：若结果非整数，需进位确保误差不超过允许范围。

破题关键点：

• 正确选择临界值 $Z=1.96$（95%置信度）。
• 公式变形与计算，注意最终结果需向上取整。

步骤1：确定公式
样本容量公式为：
$n = \left( \frac{Z \cdot \sigma}{E} \right)^2$
其中：

• $Z$ 是置信度对应的临界值，95%置信度时 $Z=1.96$；
• $\sigma=6$ 分钟（已知标准差）；
• $E=2$ 分钟（允许误差）。

步骤2：代入数值计算
$n = \left( \frac{1.96 \times 6}{2} \right)^2 = \left( \frac{11.76}{2} \right)^2 = (5.88)^2 \approx 34.57$

步骤3：确定最终样本量
计算结果 $n \approx 34.57$，因样本量需为整数且必须满足误差不超过允许范围，故向上取整得 $n=35$。

验证：
若取 $n=34$，则实际误差为 $\frac{1.96 \times 6}{\sqrt{34}} \approx 2.017$ 分钟，超过允许误差2分钟；而 $n=35$ 时误差为 $\frac{1.96 \times 6}{\sqrt{35}} \approx 1.988$ 分钟，满足条件。