题目
2.已知随机变量X Y分别服从N(1,4^2 ),N(0,3^2),它们的相关系数 (rho )_(xy)=-dfrac (1)(2), 设 =-|||-dfrac (x)(2)+dfrac (y)(3).-|||-(1)求随机变量Z的数学期望和方差;-|||-(2)求随机变量X与Z的相关系数.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求随机变量Z的数学期望
根据线性组合的期望公式，有
$E(Z)=E(\dfrac {X}{2}+\dfrac {Y}{3})=\dfrac {1}{2}E(X)+\dfrac {1}{3}E(Y)$
步骤 2：求随机变量Z的方差
根据线性组合的方差公式，有
$D(Z)=D(\dfrac {X}{2}+\dfrac {Y}{3})=\dfrac {1}{4}D(X)+\dfrac {1}{9}D(Y)+2\times \dfrac {1}{2}\times \dfrac {1}{3}Cov(X,Y)$
步骤 3：求随机变量X与Z的相关系数
根据相关系数的定义，有
$\rho _{XZ}=\dfrac {Cov(X,Z)}{\sqrt {D(X)}\cdot \sqrt {D(Z)}}$
根据线性组合的期望公式，有
$E(Z)=E(\dfrac {X}{2}+\dfrac {Y}{3})=\dfrac {1}{2}E(X)+\dfrac {1}{3}E(Y)$
步骤 2：求随机变量Z的方差
根据线性组合的方差公式，有
$D(Z)=D(\dfrac {X}{2}+\dfrac {Y}{3})=\dfrac {1}{4}D(X)+\dfrac {1}{9}D(Y)+2\times \dfrac {1}{2}\times \dfrac {1}{3}Cov(X,Y)$
步骤 3：求随机变量X与Z的相关系数
根据相关系数的定义，有
$\rho _{XZ}=\dfrac {Cov(X,Z)}{\sqrt {D(X)}\cdot \sqrt {D(Z)}}$