求极限 lim_(xto 0)dfrac(int_{0)^x^2arctan(1+t),dt}(1-cos x)。

当 $x \to 0$ 时，分子 $\int_{0}^{x^2} \arctan(1+t) \, dt$ 中，积分上限 $x^2 \to 0$，被积函数 $\arctan(1+t)$ 在 $t=0$ 处连续且接近 $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$。由积分中值定理，分子近似为 $\frac{\pi}{4} x^2$。
分母 $1 - \cos x$ 在 $x \to 0$ 时，利用泰勒展开得 $1 - \cos x \approx \frac{x^2}{2}$。
因此，原极限可近似为：
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\pi}{4} x^2}{\frac{x^2}{2}} = \frac{\pi}{2}.$
或者，使用洛必达法则，对分子和分母分别求导得：
$\lim_{x \to 0} \frac{2x \arctan(1+x^2)}{\sin x} = 2 \cdot 1 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}.$
答案： $\boxed{\frac{\pi}{2}}$