3.求下列极限:-|||-(1) lim _(xarrow 0)sqrt ({x)^2-2x+5} ;-|||-(3) lim ln (2cos 2x) ;-|||-arrow dfrac (pi )(6)-|||-(5) lim _(xarrow 1)dfrac (sqrt {5x-4)-sqrt (x)}(x-1) ,-|||-(7) lim _(xarrow +infty )(sqrt ({x)^2+x}-sqrt ({x)^2-x}) .

题目题目考察知识和解题思路

本题主要考察极限的计算，涉及直接代入法、分子有理化、根式有理化等方法。

各小题详细解析

(1) $\lim _{x\rightarrow 0}\sqrt {{x}^{2}-2x+5}$

思路：对于连续函数，极限值等于函数在该点的值，根号下的多项式在$x=0$处连续，直接代入计算。
计算：
$\lim _{x\rightarrow 0}\sqrt{x^2 - 2x + 5} = \sqrt{0^2 - 2\cdot0 + 5} = \sqrt{5}$

(3) $\lim _{x\rightarrow \frac{\pi}{6}}\ln(2\cos 2x)$

思路：对数函数的极限，先计算真数部分的极限，再代入对数。$\cos2x$在$x=\frac{\pi}{6}$处连续，直接代入。
计算：
$2x$在$x=\frac{\pi}{6}$时，$2x=\frac{\pi}{3}$，$\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$，则$2\cos\frac{\pi}{3}=1$，
故$\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{6}}\ln(2\cos2x)=\ln1=0$

(5) $\lim _{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{5x - 4}-\sqrt{x}}{x - 1}$

思路：分母为$0$（$x\rightarrow1$时），分子为$\sqrt(5x-4)-sqrt(x)，采用分子有理化（乘以共轭根式）消去分母的$0$因子。
计算：
分子分母同乘$\sqrt{5x - 4} + \sqrt{x}$：
$\frac{(\sqrt{5x - 4} - \sqrt{x})(\sqrt{5x - 4} + \sqrt{x})}{(x - 1)(\sqrt{5x - 4 + \sqrt{x})} = \frac{(5x - 4) - x}{(x - 1)(\sqrt{5x - 4} + \sqrt{x})} = \frac{4(x - 1}{)}{(x - 1)(\sqrt{5x - 4} + \sqrt{x})}$
约去$x - 1$，得$\frac{4}{\sqrt{5x - 4} + \sqrt{x}}$，代入$x=1$：$\frac{4}{\sqrt{1} + \sqrt{1}}=\frac{4}{2}=2$

(7) $\lim _{x\rightarrow +\infty}(\sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 - x}})$

思路：$x\rightarrow+\infty$时，$\sqrt{x^2 + x}$与}\sqrt{x^2 - x}$均趋向无穷，采用根式有理化（分子分母同乘共轭根式）化简。
计算：
分子分母同乘$\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}$：
$\frac{(\sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 - x})(\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x})}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}} = \frac{(x^2 + x) - (x^2 - x)}{(\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x})} = \frac{2x}{\sqrt{x^2 +}} + \sqrt{x^2 - x}}}$
分子分母同除以$x$（$x>0$）：$\frac{2}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x}}}$，$x\rightarrow+\infty$时，\frac{1}{x}\rightarrow0$，故极限为$\frac{2}{1 + 1}=1$