题目
若 ln z = (pi)/(2) i,则 z = ____。A. iB. -iC. 1D. -1
若 $\ln z = \frac{\pi}{2} i$,则 $z = \_\_\_\_$。
A. $i$
B. $-i$
C. $1$
D. $-1$
题目解答
答案
A. $i$
解析
本题考查复数的对数运算以及指数形式与三角形式的转换。解题思路是先根据对数与指数的关系,将$\ln z = \frac{\pi}{2} i$转化为指数形式,再利用欧拉公式将指数形式转化为三角形式,进而得到$z$的值。
- 根据对数与指数的关系进行转化:
已知$\ln z = \frac{\pi}{2} i$,根据对数函数与指数函数的关系$y = \ln x$等价于$x = e^y$,可得$z = e^{\frac{\pi}{2} i}$。 - 利用欧拉公式将指数形式转化为三角形式:
欧拉公式为$e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta$,在$z = e^{\frac{\pi}{2} i}$中,$\theta = \frac{\pi}{2}$,将其代入欧拉公式可得:
$z = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}$ - 计算三角函数值:
根据三角函数特殊值可知$\cos\frac{\pi}{2} = 0$,$\sin\frac{\pi}{2} = 1$,将其代入上式可得:
$z = 0 + i\times1 = i$