题目
设(X)=mu , (X)=(sigma )^2neq 0，(X)=mu , (X)=(sigma )^2neq 0是X的样本，用(X)=mu , (X)=(sigma )^2neq 0作为(X)=mu , (X)=(sigma )^2neq 0的无偏估计量，其中(X)=mu , (X)=(sigma )^2neq 0，则使(X)=mu , (X)=(sigma )^2neq 0最有效的(X)=mu , (X)=(sigma )^2neq 0为（）A.(X)=mu , (X)=(sigma )^2neq 0B.(X)=mu , (X)=(sigma )^2neq 0 C.以上都不是D.(X)=mu , (X)=(sigma )^2neq 0
设
，
是X的样本，用
作为
的无偏估计量，其中
，则使
最有效的
为（）
A.
B.
C.以上都不是
D.
题目解答
答案
来自总体X的样本相互独立且都服从总体X的分布，则
，
当，则
，
当， 则，
当，则
，无偏估计量的方差越小越有效，因此选择D。
解析
步骤 1：确定无偏估计量的条件
由于$\lambda = {k}_{1}{x}_{1} + {k}_{2}{x}_{2}$是$\mu$的无偏估计量，因此$E(\lambda) = \mu$。根据期望的线性性质，我们有$E(\lambda) = {k}_{1}E({x}_{1}) + {k}_{2}E({x}_{2}) = {k}_{1}\mu + {k}_{2}\mu = \mu$。由于${k}_{1} + {k}_{2} = 1$，所以无偏估计量的条件满足。
步骤 2：计算估计量的方差
估计量$\lambda$的方差为$D(\lambda) = D({k}_{1}{x}_{1} + {k}_{2}{x}_{2}) = {{k}_{1}}^{2}D({x}_{1}) + {{k}_{2}}^{2}D({x}_{2}) = ({{k}_{1}}^{2} + {{k}_{2}}^{2})D(X) = ({{k}_{1}}^{2} + {{k}_{2}}^{2}){\sigma }^{2}$。为了使估计量最有效，我们需要最小化$D(\lambda)$。
步骤 3：确定使方差最小的${k}_{1}$和${k}_{2}$
由于${k}_{1} + {k}_{2} = 1$，我们可以将${k}_{2}$表示为${k}_{2} = 1 - {k}_{1}$。因此，$D(\lambda) = ({{k}_{1}}^{2} + {{1 - k}_{1}}^{2}){\sigma }^{2} = (2{{k}_{1}}^{2} - 2{k}_{1} + 1){\sigma }^{2}$。为了最小化$D(\lambda)$，我们需要最小化$2{{k}_{1}}^{2} - 2{k}_{1} + 1$。通过求导并令导数等于0，我们得到${k}_{1} = \dfrac {1}{2}$，从而${k}_{2} = \dfrac {1}{2}$。
由于$\lambda = {k}_{1}{x}_{1} + {k}_{2}{x}_{2}$是$\mu$的无偏估计量，因此$E(\lambda) = \mu$。根据期望的线性性质，我们有$E(\lambda) = {k}_{1}E({x}_{1}) + {k}_{2}E({x}_{2}) = {k}_{1}\mu + {k}_{2}\mu = \mu$。由于${k}_{1} + {k}_{2} = 1$，所以无偏估计量的条件满足。
步骤 2：计算估计量的方差
估计量$\lambda$的方差为$D(\lambda) = D({k}_{1}{x}_{1} + {k}_{2}{x}_{2}) = {{k}_{1}}^{2}D({x}_{1}) + {{k}_{2}}^{2}D({x}_{2}) = ({{k}_{1}}^{2} + {{k}_{2}}^{2})D(X) = ({{k}_{1}}^{2} + {{k}_{2}}^{2}){\sigma }^{2}$。为了使估计量最有效，我们需要最小化$D(\lambda)$。
步骤 3：确定使方差最小的${k}_{1}$和${k}_{2}$
由于${k}_{1} + {k}_{2} = 1$，我们可以将${k}_{2}$表示为${k}_{2} = 1 - {k}_{1}$。因此，$D(\lambda) = ({{k}_{1}}^{2} + {{1 - k}_{1}}^{2}){\sigma }^{2} = (2{{k}_{1}}^{2} - 2{k}_{1} + 1){\sigma }^{2}$。为了最小化$D(\lambda)$，我们需要最小化$2{{k}_{1}}^{2} - 2{k}_{1} + 1$。通过求导并令导数等于0，我们得到${k}_{1} = \dfrac {1}{2}$，从而${k}_{2} = \dfrac {1}{2}$。