题目
【例题】分别在两个不同的城市对大学生的月生活费水平进行调查，在城市A随机抽取了400名大学生，其中有198名学生的月生活费超过600元；在城市B随机抽取600名大学生，其中有325名学生的月生活费超过600元。试以95%的置信水平估计城市B和城市A月生活费超过600元的大学生比例之差的置信区间。
【例题】分别在两个不同的城市对大学生的月生活费水平进行调查，在城市A随机抽取了400名大学生，其中有198名学生的月生活费超过600元；在城市B随机抽取600名大学生，其中有325名学生的月生活费超过600元。试以95%的置信水平估计城市B和城市A月生活费超过600元的大学生比例之差的置信区间。
题目解答
答案
为了以95%的置信水平估计城市B和城市A月生活费超过600元的大学生比例之差的置信区间，我们需要遵循以下步骤：
1. **计算城市A和城市B的样本比例：**
对于城市A：
\[
\hat{p}_A = \frac{198}{400} = 0.495
\]
对于城市B：
\[
\hat{p}_B = \frac{325}{600} \approx 0.5417
\]
2. **计算比例之差的点估计：**
\[
\hat{p}_B - \hat{p}_A \approx 0.5417 - 0.495 = 0.0467
\]
3. **计算比例之差的标准误差：**
比例之差的标准误差的公式为：
\[
\text{SE} = \sqrt{\frac{\hat{p}_A(1 - \hat{p}_A)}{n_A} + \frac{\hat{p}_B(1 - \hat{p}_B)}{n_B}}
\]
其中 $ n_A = 400 $ 和 $ n_B = 600 $。
代入数值，我们得到：
\[
\text{SE} = \sqrt{\frac{0.495 \times 0.505}{400} + \frac{0.5417 \times 0.4583}{600}} \approx \sqrt{\frac{0.249975}{400} + \frac{0.24845661}{600}} \approx \sqrt{0.0006249375 + 0.00041409435} \approx \sqrt{0.00103903185} \approx 0.032234
\]
4. **确定临界值：**
对于95%的置信水平，临界值 $ z $ 是1.96。
5. **计算 margin of error：**
\[
\text{Margin of Error} = z \times \text{SE} \approx 1.96 \times 0.032234 \approx 0.063178
\]
6. **构建置信区间：**
比例之差的置信区间为：
\[
(\hat{p}_B - \hat{p}_A) \pm \text{Margin of Error} \approx 0.0467 \pm 0.063178
\]
这给我们区间：
\[
(0.0467 - 0.063178, 0.0467 + 0.063178) \approx (-0.0165, 0.1032)
\]
因此，城市B和城市A月生活费超过600元的大学生比例之差的95%置信区间是 $\boxed{(-0.0165, 0.1032)}$。
解析
本题考查两个总体比例之差的置信区间的计算。解题思路如下：
- 首先，根据样本数据分别计算城市A和城市B中月生活费超过600元的大学生的样本比例。样本比例的计算公式为$\hat{p}=\frac{x}{n}$，其中$x$是样本中具有某种特征的个体数，$n$是样本容量。
- 对于城市A，已知抽取了$n_A = 400$名大学生，其中有$x_A = 198$名学生的月生活费超过600元，根据公式可得城市A的样本比例$\hat{p}_A=\frac{x_A}{n_A}=\frac{198}{400}=0.495$。
- 对于城市B，抽取了$n_B = 600$名大学生，其中有$x_B = 325$名学生的月生活费超过600元，同理可得城市B的样本比例$\hat{p}_B=\frac{x_B}{n_B}=\frac{325}{600}\approx0.5417$。
- 接着，计算城市B和城市A月生活费超过600元的大学生比例之差的点估计值，即$\hat{p}_B - \hat{p}_A$。
- 将$\hat{p}_A = 0.495$和$\hat{p}_B\approx0.5417$代入可得：$\hat{p}_B - \hat{p}_A\approx0.5417 - 0.495 = 0.0467$。
- 然后，计算比例之差的标准误差$SE$。两个总体比例之差的标准误差公式为$SE = \sqrt{\frac{\hat{p}_A(1 - \hat{p}_A)}{n_A} + \frac{\hat{p}_B(1 - \hat{p}_B)}{n_B}}$。
- 先分别计算$\hat{p}_A(1 - \hat{p}_A)$和$\hat{p}_B(1 - \hat{p}_B)$的值：
- $\hat{p}_A(1 - \hat{p}_A)=0.495\times(1 - 0.495)=0.495\times0.505 = 0.249975$。
- $\hat{p}_B(1 - \hat{p}_B)=0.5417\times(1 - 0.5417)=0.5417\times0.4583\approx0.24845661$。
- 再将上述值代入标准误差公式：
- $SE = \sqrt{\frac{0.249975}{400} + \frac{0.24845661}{600}}$
- $=\sqrt{0.0006249375 + 0.00041409435}$
- $=\sqrt{0.00103903185}\approx0.032234$。
- 先分别计算$\hat{p}_A(1 - \hat{p}_A)$和$\hat{p}_B(1 - \hat{p}_B)$的值：
- 之后，确定置信水平为95%时的临界值$z$。在正态分布中，95%的置信水平对应的临界值$z = 1.96$。
- 再计算边际误差$ME$，边际误差的计算公式为$ME = z\times SE$。
- 将$z = 1.96$和$SE\approx0.032234$代入可得：$ME = 1.96\times0.032234\approx0.063178$。
- 最后，构建置信区间。两个总体比例之差的置信区间公式为$(\hat{p}_B - \hat{p}_A)\pm ME$。
- 将$\hat{p}_B - \hat{p}_A\approx0.0467$和$ME\approx0.063178$代入可得：
- 下限为$0.0467 - 0.063178\approx - 0.0165$。
- 上限为$0.0467 + 0.063178\approx0.1032$。
- 所以，城市B和城市A月生活费超过600元的大学生比例之差的95%置信区间是$(-0.0165, 0.1032)$。
- 将$\hat{p}_B - \hat{p}_A\approx0.0467$和$ME\approx0.063178$代入可得：