【单选题】对于两个随机变量 X 和 Y ,若E(XY)=E(X)E(Y),则A. X 与Y相互独立B. X 与Y不相互独立C. D （XY）=D（X）D（Y）D. D （X+Y）=D（X）+D（Y）

考查要点：本题主要考查随机变量的协方差与方差性质，以及独立性与不相关的关系。

解题核心思路：

1. 协方差为零的条件（即$E(XY)=E(X)E(Y)$）说明随机变量$X$和$Y$不相关，但不必然独立。
2. 方差的性质：$D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X,Y)$。当$\text{Cov}(X,Y)=0$时，方差可加。
3. 排除法分析选项，结合独立性与不相关的区别，验证各选项的正确性。

破题关键点：

• 独立性与不相关的区别：独立必不相关，但不相关不一定独立。
• 方差可加性：仅当协方差为零时，和的方差等于方差之和。

条件分析：
题目给出$E(XY) = E(X)E(Y)$，即$\text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0$。此时$X$与$Y$不相关，但无法确定是否独立。

选项逐一分析：

1. 选项A（$X$与$Y$独立）：
   不相关（协方差为零）不必然独立，可能存在非线性依赖关系。因此选项A错误。

2. 选项B（$X$与$Y$不独立）：
   协方差为零时，$X$与$Y$可能独立（若联合分布是正态分布等），也可能不独立。因此选项B错误。

3. 选项C（$D(XY) = D(X)D(Y)$）：
   仅当$X$与$Y$独立时，$D(XY) = D(X)D(Y) + [E(X)]^2 D(Y) + [E(Y)]^2 D(X)$。题目未给出独立性，因此选项C错误。

4. 选项D（$D(X+Y) = D(X) + D(Y)$）：
   根据方差性质：
   $D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X,Y).$
   由于$\text{Cov}(X,Y)=0$，可得$D(X+Y) = D(X) + D(Y)$，因此选项D正确。