关于指数函数 exp(z), 下列命题错误的是()A. e^z neq 0,z in C B. e^ overline (2) 在复平面上任一点都不解析C. e^z_(1)e^z_(2)=e^z_(1+z_{2)} D. 若 e^z_(1)=e^z_(2), 则 z_(1)=z_(2) E. e^z 在复平面上处处解析，且 mid e^z mid =e^z F. |e^z| =e^z G. e^ overline (z)= overline (e^z)

本题考查复数指数函数的基本性质，需掌握以下关键点：

1. 非零性：复指数函数 $e^z$ 对任意复数 $z$ 均不为零；
2. 指数运算规则：$e^{z_1 + z_2} = e^{z_1} \cdot e^{z_2}$；
3. 解析性：$e^z$ 处处解析，但 $e^{\overline{z}}$ 处处不解析；
4. 周期性：$e^{z + 2k\pi i} = e^z$，故 $e^{z_1} = e^{z_2}$ 时 $z_1$ 与 $z_2$ 可相差 $2k\pi i$；
5. 模长性质：$|e^z| = e^{\text{Re}(z)}$，而非 $e^z$ 本身；
6. 共轭性质：$e^{\overline{z}} = \overline{e^z}$。

选项D

周期性导致反例存在
若 $e^{z_1} = e^{z_2}$，则 $z_1 = z_2 + 2k\pi i$（$k$ 为整数），而非必须相等。例如，$e^{0} = e^{2\pi i}$，但 $0 \neq 2\pi i$，故 D错误。

选项E

模长与函数值混淆
$e^z$ 处处解析，但 $|e^z| = e^{\text{Re}(z)}$，而 $e^z$ 本身是复数，除非 $z$ 为实数，否则 $|e^z| \neq e^z$。例如，$z = i$ 时，$|e^i| = 1 \neq e^i$，故 E错误。

选项F

模长的绝对值性质
$|e^z| = e^{\text{Re}(z)}$，仅当 $z$ 为实数时，$e^z$ 为正实数且 $|e^z| = e^z$。但若 $z$ 有虚部，则 $e^z$ 为复数，例如 $z = i$ 时，$|e^i| = 1 \neq e^i$，故 F错误。