题目

求一个次数不高于四次的多项式P(x)，使它满足P(0)=P'(0)=0，P(1)=P'(1)=1，P(2)=1。

求一个次数不高于四次的多项式$$P(x)$$，使它满足$$P(0)=P'(0)=0$$，$$P(1)=P'(1)=1$$，$$P(2)=1$$。

题目解答

答案

设$$P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$，所以 $$P(0)=e=0 ，P'(0)=d=0 $$，$$P(1)=a+b+c+d+e=1$$， $$P'(1)=4a+3b+2c+d=1$$，$$ P(2)=16a+8b+4c+2d+e=1 $$， ，显然$$d=e=0$$，解下列方程组： $$\cases { a+b+c=1\cr 4a+3b+2c=1\cr 16a+8b+4c=1\cr} $$，可得：$$\cases {a={1\over 4} \cr b=-{3\over 2} \cr c={9\over 4} } $$，所以$$P(x)={1\over 4} x^4-{3\over 2}x^3+{9\over 4} x^2$$。

解析

考查要点：本题主要考查多项式函数的构造，利用给定的函数值和导数值条件建立方程组求解系数。

解题核心思路：

  1. 设定多项式形式：由于题目要求次数不高于四次，设$P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$。
  2. 代入条件建立方程：将$P(0)=0$和$P'(0)=0$代入，直接得出$d=e=0$。
  3. 简化方程组：利用剩余条件$P(1)=1$、$P'(1)=1$、$P(2)=1$，建立关于$a$、$b$、$c$的三元一次方程组。
  4. 解方程组：通过消元法或代入法求解系数$a$、$b$、$c$，最终确定多项式。

破题关键点：

  • 利用初始条件快速确定部分系数（$d=e=0$）。
  • 将导数条件转化为线性方程，简化计算过程。

设四次多项式为$P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$，其导数为$P'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d$。

  1. 代入初始条件：

    • $P(0)=e=0 \implies e=0$
    • $P'(0)=d=0 \implies d=0$

  2. 剩余条件代入：

    • $P(1)=a+b+c=1$
    • $P'(1)=4a+3b+2c=1$
    • $P(2)=16a+8b+4c=1$

  3. 解方程组：

    • 方程1：$a + b + c = 1$
    • 方程2：$4a + 3b + 2c = 1$
    • 方程3：$16a + 8b + 4c = 1$

    消元过程：

    • 由方程1得$c = 1 - a - b$，代入方程2和方程3：
      • 方程2化简为$2a + b = -1$
      • 方程3化简为$12a + 4b = -3$
    • 解得$a = \frac{1}{4}$，$b = -\frac{3}{2}$，$c = \frac{9}{4}$。