题目
12.(填空题)12、设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且3P(X=2)=P(X=4)，则λ=____。
12.(填空题)
12、设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且3P{X=2}=P{X=4}，则λ=____。
题目解答
答案
根据泊松分布的概率质量函数 $P\{X = k\} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$，代入已知条件 $3P\{X=2\} = P\{X=4\}$，得：
\[ 3 \cdot \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^4}{24} \]
消去 $e^{-\lambda}$ 并整理得：
\[ \frac{3\lambda^2}{2} = \frac{\lambda^4}{24} \]
两边乘以24并化简：
\[ 36\lambda^2 = \lambda^4 \]
提取公因式 $\lambda^2$：
\[ \lambda^2(\lambda^2 - 36) = 0 \]
解得 $\lambda^2 = 36$（舍去 $\lambda^2 = 0$），取正根：
\[ \lambda = 6 \]
**答案：** $\boxed{6}$
解析
步骤 1：写出泊松分布的概率质量函数
泊松分布的概率质量函数为 $P\{X = k\} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$，其中 $k$ 是非负整数，$\lambda$ 是泊松分布的参数。
步骤 2：代入已知条件
根据题目条件 $3P\{X=2\} = P\{X=4\}$，代入泊松分布的概率质量函数，得到： \[ 3 \cdot \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^4}{4!} \]
步骤 3：化简方程
消去 $e^{-\lambda}$ 并化简方程： \[ 3 \cdot \frac{\lambda^2}{2} = \frac{\lambda^4}{24} \] 两边乘以24并化简： \[ 36\lambda^2 = \lambda^4 \] 提取公因式 $\lambda^2$： \[ \lambda^2(\lambda^2 - 36) = 0 \] 解得 $\lambda^2 = 36$（舍去 $\lambda^2 = 0$），取正根： \[ \lambda = 6 \]
泊松分布的概率质量函数为 $P\{X = k\} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$，其中 $k$ 是非负整数，$\lambda$ 是泊松分布的参数。
步骤 2：代入已知条件
根据题目条件 $3P\{X=2\} = P\{X=4\}$，代入泊松分布的概率质量函数，得到： \[ 3 \cdot \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^4}{4!} \]
步骤 3：化简方程
消去 $e^{-\lambda}$ 并化简方程： \[ 3 \cdot \frac{\lambda^2}{2} = \frac{\lambda^4}{24} \] 两边乘以24并化简： \[ 36\lambda^2 = \lambda^4 \] 提取公因式 $\lambda^2$： \[ \lambda^2(\lambda^2 - 36) = 0 \] 解得 $\lambda^2 = 36$（舍去 $\lambda^2 = 0$），取正根： \[ \lambda = 6 \]