20.设x1,···,xn是来自正态总体N(μ,σ^2 )的一个样本. ({S)_(n)}^2=dfrac (1)(n-1)sum _(i=1)^n((x)_(i)--|||-(x))^2 是样本方差,试求满足 (dfrac ({{S)_(n)}^2}({sigma )^2}leqslant 1.5)geqslant 0.95 的最小n值.

步骤 1：确定分布
由于 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 是来自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的一个样本，样本方差 $S_n^2$ 的分布为 $\frac{(n-1)S_n^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，其中 $\chi^2(n-1)$ 表示自由度为 $n-1$ 的卡方分布。

步骤 2：转换概率条件
根据题目要求，我们需要找到满足 $P\left(\frac{S_n^2}{\sigma^2} \leq 1.5\right) \geq 0.95$ 的最小 $n$ 值。根据步骤 1 的分布，可以将条件转换为 $P\left(\chi^2(n-1) \leq 1.5(n-1)\right) \geq 0.95$。

步骤 3：查找卡方分布表
为了满足上述概率条件，我们需要找到 $\chi^2(n-1)$ 分布的0.95分位数 $X_{0.95}^2(n-1)$，使得 $X_{0.95}^2(n-1) \leq 1.5(n-1)$。通过查找卡方分布表，我们可以找到满足条件的最小 $n$ 值。

步骤 4：确定最小 $n$ 值
通过查找卡方分布表，我们可以得到以下数据：
- 当 $n=2$ 时，$X_{0.95}^2(1) = 3.8415$，$1.5(1) = 1.5$，不满足条件。
- 当 $n=5$ 时，$X_{0.95}^2(4) = 9.4877$，$1.5(4) = 6$，不满足条件。
- 当 $n=10$ 时，$X_{0.95}^2(9) = 16.9190$，$1.5(9) = 13.5$，不满足条件。
- 当 $n=15$ 时，$X_{0.95}^2(14) = 23.6848$，$1.5(14) = 21$，不满足条件。
- 当 $n=20$ 时，$X_{0.95}^2(19) = 30.1435$，$1.5(19) = 28.5$，不满足条件。
- 当 $n=25$ 时，$X_{0.95}^2(24) = 36.4150$，$1.5(24) = 36$，不满足条件。
- 当 $n=26$ 时，$X_{0.95}^2(25) = 37.6525$，$1.5(25) = 37.5$，不满足条件。
- 当 $n=27$ 时，$X_{0.95}^2(26) = 38.8851$，$1.5(26) = 39$，满足条件。