题目

某药物生产厂家声称其生产的药物的有效成分含量平均值为50mg。现在通过抽样检测,得到了40个样本,样本均值为48mg,样本标准差为5mg。请对平均值进行假设检验,显著性水平为0.01。

题目解答

答案

答:首先计算标准误差:标准误差 = 标准差 / √样本容量。这里样本标准差为5,样本容量为40。所以标准误差 = 5 / √40 ≈ 0.79然后计算z值:z = (样本均值 - 假设值) / 标准误差 = (48 - 50) / 0.79 ≈ -2.53最后查表得知,在显著性水平为0.01时,标准正态分布的临界值为-2.33。由于-2.53 < -2.33,所以可以拒绝原假设,即有足够的证据表明药物的有效成分含量平均值不等于50mg。通过以上的练习题,我们可以加深对统计学的理解和应用。统计学不仅是一门学科,更是一种思维方式。在现实生活中,我们可以利用统计学的方法来分析问题、做出决策,并从中获得更多的洞察和启示。希望这些练习题及答案能够帮助大家更好地掌握统计学的知识。

解析

本题考查的是总体均值的假设检验，解题思路如下：

提出原假设和备择假设：
- 原假设 $H_0$：药物的有效成分含量平均值等于声称的 $50mg$，即 $\mu = 50$。
- 备择假设 $H_1$：药物的有效成分含量平均值不等于 $50mg$，即 $\mu \neq 50$。
计算标准误差：
- 标准误差 $SE$ 的计算公式为 $SE=\frac{s}{\sqrt{n}}$，其中 $s$ 是样本标准差，$n$ 是样本容量。
- 已知样本标准差 $s = 5mg$，样本容量 $n = 40$，将其代入公式可得：
- $SE=\frac{5}{\sqrt{40}}$
- 先计算 $\sqrt{40}\approx6.32$，则 $SE=\frac{5}{6.32}\approx0.79$。
计算 $z$ 值：
- $z$ 值的计算公式为 $z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{SE}$，其中 $\bar{x}$ 是样本均值，$\mu_0$ 是原假设中的总体均值，$SE$ 是标准误差。
- 已知样本均值 $\bar{x} = 48mg$，原假设中的总体均值 $\mu_0 = 50mg$，标准误差 $SE\approx0.79$，将其代入公式可得：
- $z=\frac{48 - 50}{0.79}=\frac{-2}{0.79}\approx - 2.53$。
确定临界值并进行决策：
- 本题是双侧检验，显著性水平 $\alpha = 0.01$，则双侧检验的临界值为 $\pm z_{\frac{\alpha}{2}}$。
- 查标准正态分布表可得 $z_{\frac{0.01}{2}}=z_{0.005}=2.33$，所以临界值为 $\pm2.33$。
- 由于计算得到的 $z$ 值 $-2.53\lt - 2.33$，落在拒绝域内，所以拒绝原假设。