两个均匀分布随机变量概率密度之和的概率密度呈()形状。A. 三角形B. 圆形C. 线形D. 矩形

考查要点：本题主要考查两个独立均匀分布随机变量之和的概率密度函数形状，需要理解卷积运算的应用以及三角形分布的形成原理。

解题核心思路：

1. 均匀分布的和：两个独立均匀分布随机变量的和的密度函数可通过卷积计算。
2. 分段讨论：根据和的取值范围分段积分，推导出密度函数的表达式。
3. 形状判断：通过分段表达式分析密度函数的图形特征，确定其为三角形分布。

破题关键点：

• 明确均匀分布的定义域对和的取值范围的影响。
• 正确划分积分区间，计算不同区间的密度函数表达式。
• 通过表达式斜率的变化判断图形形状。

设两个独立均匀分布随机变量 $X$ 和 $Y$，均服从区间 $[0,1]$ 上的均匀分布，其概率密度函数为：
$f_X(x) = \begin{cases} 1, & 0 \leq x \leq 1, \\0, & \text{其他},\end{cases} \quad f_Y(y) = \begin{cases} 1, & 0 \leq y \leq 1, \\0, & \text{其他}.\end{cases}$

求 $Z = X + Y$ 的概率密度函数 $f_Z(z)$，需计算卷积：
$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_Y(z - x) \, dx.$

分段讨论：

1. 当 $0 \leq z \leq 1$ 时：
   $x$ 需满足 $0 \leq x \leq z$（此时 $z - x \in [0,1]$）。
   积分结果为：
   $f_Z(z) = \int_{0}^{z} 1 \cdot 1 \, dx = z.$

2. 当 $1 < z \leq 2$ 时：
   $x$ 需满足 $z - 1 \leq x \leq 1$（此时 $z - x \in [0,1]$）。
   积分结果为：
   $f_Z(z) = \int_{z-1}^{1} 1 \cdot 1 \, dx = 2 - z.$

3. 其他情况：
   $f_Z(z) = 0$。

结论：
$f_Z(z)$ 的表达式为：
$f_Z(z) = \begin{cases} z, & 0 \leq z \leq 1, \\2 - z, & 1 < z \leq 2, \\0, & \text{其他}.\end{cases}$
该函数在 $[0,2]$ 内先线性增加后线性减少，形成三角形形状。