题目
2.设两总体Xsim N(mu_(1),sigma^2)，Ysim N(mu_(2),sigma^2)，X_(1),X_(2),...,X_(n_{1)}和Y_(1),Y_(2),...,Y_(n_{2)}分别为两总体的样本，且它们相互独立，且它们相互独立，则(frac(1)/(n_{1))sum_(i=1)^n_(1)(X_(i)-mu_(1))^2}((1)/(n_{2))sum_(i=1)^n_(2)(Y_(i)-mu_(2))^2}服从____分布；
2.设两总体$X\sim N(\mu_{1},\sigma^{2})$，$Y\sim N(\mu_{2},\sigma^{2})$，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n_{1}}$和$Y_{1},Y_{2},\cdots,Y_{n_{2}}$分别为两总体的样本，且它们相互独立，且它们相互独立，则$\frac{\frac{1}{n_{1}}\sum_{i=1}^{n_{1}}(X_{i}-\mu_{1})^{2}}{\frac{1}{n_{2}}\sum_{i=1}^{n_{2}}(Y_{i}-\mu_{2})^{2}}$服从____分布；
题目解答
答案
为了确定统计量$\frac{\frac{1}{n_{1}}\sum_{i=1}^{n_{1}}(X_{i}-\mu_{1})^{2}}{\frac{1}{n_{2}}\sum_{i=1}^{n_{2}}(Y_{i}-\mu_{2})^{2}}$的分布，我们需要分析分子和分母的分布，然后使用F分布的性质。
1. **分子的分布：**
统计量$\sum_{i=1}^{n_{1}}(X_{i}-\mu_{1})^{2}$是来自正态总体$X \sim N(\mu_{1}, \sigma^2)$的样本的平方和。已知对于正态总体，平方和$\sum_{i=1}^{n_{1}}(X_{i}-\mu_{1})^{2}/\sigma^2$服从自由度为$n_1$的卡方分布。因此，我们有：
\[
\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n_{1}}(X_{i}-\mu_{1})^{2} \sim \chi^2_{n_1}
\]
这意味着：
\[
\frac{1}{n_1}\sum_{i=1}^{n_{1}}(X_{i}-\mu_{1})^{2} \sim \frac{\sigma^2}{n_1} \chi^2_{n_1}
\]
2. **分母的分布：**
同样，统计量$\sum_{i=1}^{n_{2}}(Y_{i}-\mu_{2})^{2}$是来自正态总体$Y \sim N(\mu_{2}, \sigma^2)$的样本的平方和。已知对于正态总体，平方和$\sum_{i=1}^{n_{2}}(Y_{i}-\mu_{2})^{2}/\sigma^2$服从自由度为$n_2$的卡方分布。因此，我们有：
\[
\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n_{2}}(Y_{i}-\mu_{2})^{2} \sim \chi^2_{n_2}
\]
这意味着：
\[
\frac{1}{n_2}\sum_{i=1}^{n_{2}}(Y_{i}-\mu_{2})^{2} \sim \frac{\sigma^2}{n_2} \chi^2_{n_2}
\]
3. **两个卡方分布的比值：**
现在，我们需要找到两个这些分布的比值的分布：
\[
\frac{\frac{1}{n_{1}}\sum_{i=1}^{n_{1}}(X_{i}-\mu_{1})^{2}}{\frac{1}{n_{2}}\sum_{i=1}^{n_{2}}(Y_{i}-\mu_{2})^{2}}
\]
代入我们找到的分布，我们得到：
\[
\frac{\frac{\sigma^2}{n_1} \chi^2_{n_1}}{\frac{\sigma^2}{n_2} \chi^2_{n_2}} = \frac{n_2}{n_1} \cdot \frac{\chi^2_{n_1}}{\chi^2_{n_2}}
\]
两个卡方分布的比值，每个除以各自的自由度，服从F分布。具体来说，$\frac{\chi^2_{n_1}/n_1}{\chi^2_{n_2}/n_2}$服从自由度为$n_1$和$n_2$的F分布。因此，我们有：
\[
\frac{\frac{1}{n_{1}}\sum_{i=1}^{n_{1}}(X_{i}-\mu_{1})^{2}}{\frac{1}{n_{2}}\sum_{i=1}^{n_{2}}(Y_{i}-\mu_{2})^{2}} \sim F_{n_1, n_2}
\]
因此，统计量$\frac{\frac{1}{n_{1}}\sum_{i=1}^{n_{1}}(X_{i}-\mu_{1})^{2}}{\frac{1}{n_{2}}\sum_{i=1}^{n_{2}}(Y_{i}-\mu_{2})^{2}}$服从$\boxed{F_{n_1, n_2}}$分布。
解析
本题考查正态总体样本统计量的分布以及F分布的构造。解题思路是先分别分析分子和分母所服从的分布，再根据F分布的定义来确定整个统计量的分布。
- 分析分子的分布：
- 已知总体$X\sim N(\mu_{1},\sigma^{2})$，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n_{1}}$是来自总体$X$的样本。
- 根据正态总体的性质，对于正态总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，有$\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}\sim\chi^{2}(n)$。
- 那么对于本题，$\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{n_{1}}(X_{i}-\mu_{1})^{2}\sim\chi^{2}(n_{1})$。
- 由此可得$\frac{1}{n_{1}}\sum_{i = 1}^{n_{1}}(X_{i}-\mu_{1})^{2}=\frac{\sigma^{2}}{n_{1}}\cdot\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{n_{1}}(X_{i}-\mu_{1})^{2}\sim\frac{\sigma^{2}}{n_{1}}\chi^{2}(n_{1})$。
- 分析分母的分布：
- 已知总体$Y\sim N(\mu_{2},\sigma^{2})$，$Y_{1},Y_{2},\cdots,Y_{n_{2}}$是来自总体$Y$的样本。
- 同理，$\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{n_{2}}(Y_{i}-\mu_{2})^{2}\sim\chi^{2}(n_{2})$。
- 所以$\frac{1}{n_{2}}\sum_{i = 1}^{n_{2}}(Y_{i}-\mu_{2})^{2}=\frac{\sigma^{2}}{n_{2}}\cdot\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{n_{2}}(Y_{i}-\mu_{2})^{2}\sim\frac{\sigma^{2}}{n_{2}}\chi^{2}(n_{2})$。
- 确定整个统计量的分布：
- 已知F分布的定义为：若$U\sim\chi^{2}(n_{1})$，$V\sim\chi^{2}(n_{2})$，且$U$与$V$相互独立，则$F=\frac{U/n_{1}}{V/n_{2}}\sim F(n_{1},n_{2})$。
- 对于统计量$\frac{\frac{1}{n_{1}}\sum_{i = 1}^{n_{1}}(X_{i}-\mu_{1})^{2}}{\frac{1}{n_{2}}\sum_{i = 1}^{n_{2}}(Y_{i}-\mu_{2})^{2}}$，将前面得到的分子分母分布代入可得：
$\begin{align*}\frac{\frac{1}{n_{1}}\sum_{i = 1}^{n_{1}}(X_{i}-\mu_{1})^{2}}{\frac{1}{n_{2}}\sum_{i = 1}^{n_{2}}(Y_{i}-\mu_{2})^{2}}&=\frac{\frac{\sigma^{2}}{n_{1}}\chi^{2}(n_{1})}{\frac{\sigma^{2}}{n_{2}}\chi^{2}(n_{2})}\\&=\frac{n_{2}}{n_{1}}\cdot\frac{\chi^{2}(n_{1})}{\chi^{2}(n_{2})}\\&=\frac{\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{n_{1}}(X_{i}-\mu_{1})^{2}/n_{1}}{\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{n_{2}}(Y_{i}-\mu_{2})^{2}/n_{2}}\end{align*}$ - 因为$\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{n_{1}}(X_{i}-\mu_{1})^{2}\sim\chi^{2}(n_{1})$，$\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{n_{2}}(Y_{i}-\mu_{2})^{2}\sim\chi^{2}(n_{2})$，且样本$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n_{1}}$与$Y_{1},Y_{2},\cdots,Y_{n_{2}}$相互独立，所以$\frac{\frac{1}{n_{1}}\sum_{i = 1}^{n_{1}}(X_{i}-\mu_{1})^{2}}{\frac{1}{n_{2}}\sum_{i = 1}^{n_{2}}(Y_{i}-\mu_{2})^{2}}\sim F(n_{1},n_{2})$。