题目
2.23 设某城市成年男子的身高X~N(170，6²)(单位：cm).问应如何设计公共汽车门的高度，使男子与车门碰头的机会小于0.01?
2.23 设某城市成年男子的身高X~N(170，6²)(单位：cm).问应如何设计公共汽车门的高度，使男子与车门碰头的机会小于0.01?
题目解答
答案
设车门高度为 $l$ 厘米，需满足 $P(X > l) < 0.01$。
标准化得 $Z = \frac{X - 170}{6}$，则 $Z \sim N(0, 1)$。
转换不等式：
\[ P\left(Z > \frac{l - 170}{6}\right) < 0.01 \]
由标准正态分布表，$\Phi(2.33) \approx 0.99$，故
\[ \frac{l - 170}{6} > 2.33 \]
解得
\[ l > 183.98 \]
**答案：**
车门高度应大于183.98厘米。
解析
步骤 1：确定问题
问题要求我们找到一个车门高度 $l$，使得成年男子的身高超过这个高度的概率小于0.01。即 $P(X > l) < 0.01$，其中 $X$ 代表成年男子的身高，且 $X \sim N(170, 6^2)$。
步骤 2：标准化
将 $X$ 标准化为标准正态分布 $Z$，即 $Z = \frac{X - 170}{6}$，其中 $Z \sim N(0, 1)$。因此，原问题转化为求解 $P(Z > \frac{l - 170}{6}) < 0.01$。
步骤 3：查找标准正态分布表
根据标准正态分布表，找到 $P(Z > z) = 0.01$ 对应的 $z$ 值。由表可知，$\Phi(2.33) \approx 0.99$，即 $P(Z > 2.33) \approx 0.01$。因此，$\frac{l - 170}{6} > 2.33$。
步骤 4：求解不等式
解不等式 $\frac{l - 170}{6} > 2.33$，得到 $l > 170 + 6 \times 2.33$，即 $l > 183.98$。
问题要求我们找到一个车门高度 $l$，使得成年男子的身高超过这个高度的概率小于0.01。即 $P(X > l) < 0.01$，其中 $X$ 代表成年男子的身高，且 $X \sim N(170, 6^2)$。
步骤 2：标准化
将 $X$ 标准化为标准正态分布 $Z$，即 $Z = \frac{X - 170}{6}$，其中 $Z \sim N(0, 1)$。因此，原问题转化为求解 $P(Z > \frac{l - 170}{6}) < 0.01$。
步骤 3：查找标准正态分布表
根据标准正态分布表，找到 $P(Z > z) = 0.01$ 对应的 $z$ 值。由表可知，$\Phi(2.33) \approx 0.99$，即 $P(Z > 2.33) \approx 0.01$。因此，$\frac{l - 170}{6} > 2.33$。
步骤 4：求解不等式
解不等式 $\frac{l - 170}{6} > 2.33$，得到 $l > 170 + 6 \times 2.33$，即 $l > 183.98$。