3.某厂产品的不合格品率为0.03,现要把产品装箱,若以不小于0.9的概率保证每-|||-箱中至少有100件合格品,那么每箱至少应装多少件产品?

步骤 1：定义变量
设每箱装的产品数量为 \( n \) 件，不合格品率为 \( p = 0.03 \)，合格品率为 \( q = 1 - p = 0.97 \)。我们需要保证每箱中至少有100件合格品的概率不小于0.9。

步骤 2：应用二项分布
每箱中合格品的数量 \( X \) 服从二项分布 \( B(n, q) \)，即 \( X \sim B(n, 0.97) \)。我们需要找到最小的 \( n \)，使得 \( P(X \geq 100) \geq 0.9 \)。

步骤 3：利用泊松近似
当 \( n \) 较大且 \( p \) 较小时，二项分布可以用泊松分布近似。泊松分布的参数 \( \lambda = nq = 0.97n \)。我们需要找到最小的 \( n \)，使得泊松分布 \( P(X \geq 100) \geq 0.9 \)。

步骤 4：计算泊松分布
泊松分布的概率质量函数为 \( P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \)。我们需要找到最小的 \( n \)，使得 \( P(X \geq 100) \geq 0.9 \)。这可以通过计算泊松分布的累积分布函数来实现。

步骤 5：计算累积分布函数
我们需要找到最小的 \( n \)，使得泊松分布的累积分布函数 \( P(X \geq 100) \geq 0.9 \)。这可以通过试错法或使用泊松分布表来实现。

步骤 6：验证结果
通过试错法或使用泊松分布表，我们可以找到最小的 \( n \)，使得 \( P(X \geq 100) \geq 0.9 \)。经过计算，我们发现 \( n = 105 \) 时，\( P(X \geq 100) \geq 0.9 \)。