题目

设函数 f(x) = ((x-1)(x-2) cdot ... cdot (x-n))/((x+1)(x+2) cdot ... cdot (x+n)) ，求 f'(1) 。

设函数 $ f(x) = \frac{(x-1)(x-2) \cdot \cdots \cdot (x-n)}{(x+1)(x+2) \cdot \cdots \cdot (x+n)} $，求 $ f'(1) $。

题目解答

答案

设 $ f(x) = \frac{(x-1)(x-2)\cdots(x-n)}{(x+1)(x+2)\cdots(x+n)} $，则 $ f(1) = 0 $。
对 $ f(x) $ 求导得：
$f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{h(x)^2}$
其中 $ g(x) = (x-1)(x-2)\cdots(x-n) $，$ h(x) = (x+1)(x+2)\cdots(x+n) $。
在 $ x = 1 $ 处，$ g(1) = 0 $，故：
$f'(1) = \frac{g'(1)h(1)}{h(1)^2} = \frac{g'(1)}{h(1)}$
计算得：
$g'(1) = (-1)^{n-1}(n-1)!, \quad h(1) = (n+1)!$
因此：
$f'(1) = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(n+1)!} = \frac{(-1)^{n-1}}{n(n+1)}$

答案： $\boxed{\frac{(-1)^{n-1}}{n(n+1)}}$

解析

本题考查函数求导以及导数的计算，解题思路是先根据函数的形式，利用商的求导法则求出导函数的表达式，再结合函数在特定点的值简化计算，最后通过计算分子分母在该点的值得出最终结果。

  1. 首先，设$g(x)=(x - 1)(x - 2)\cdots(x - n)$，$h(x)=(x + 1)(x + 2)\cdots(x + n)$，则原函数$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$。
  2. 根据商的求导法则$(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}$，对$f(x)$求导可得：
    • $f^\prime(x)=\frac{g^\prime(x)h(x)-g(x)h^\prime(x)}{h(x)^2}$。
  3. 接着，计算$f(1)$的值：
    • 把$x = 1$代入$g(x)$，可得$g(1)=(1 - 1)(1 - 2)\cdots(1 - n)=0$。
    • 把$x = 1$代入$f(x)$，则$f(1)=\frac{g(1)}{h(1)} = 0$。
  4. 然后，求$f^\prime(1)$：
    • 把$x = 1$代入$f^\prime(x)$的表达式中，由于$g(1)=0$，所以$f^\prime(1)=\frac{g^\prime(1)h(1)-0\times h^\prime(1)}{h(1)^2}=\frac{g^\prime(1)}{h(1)}$。
  5. 计算$g^\prime(1)$：
    • 对$g(x)=(x - 1)(x - 2)\cdots(x - n)$求导，根据乘法求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v+uv^\prime$，$g^\prime(x)$是$n$项之和，每一项是其中一个因子的导数乘以其余因子的乘积。
    • 当求$g^\prime(1)$时，只有$(x - 1)$的导数为$1$，其余因子在$x = 1$处的值分别为$(1 - 2),(1 - 3),\cdots,(1 - n)$，即$g^\prime(1)=(-1)\times(-2)\times\cdots\times(-(n - 1))=(-1)^{n - 1}(n - 1)!$。
  6. 计算$h(1)$：
    • 把$x = 1$代入$h(x)=(x + 1)(x + 2)\cdots(x + n)$，可得$h(1)=(1 + 1)(1 + 2)\cdots(1 + n)=(n + 1)!$。
  7. 最后，计算$f^\prime(1)$的值：
    • 把$g^\prime(1)=(-1)^{n - 1}(n - 1)!$和$h(1)=(n + 1)!$代入$f^\prime(1)=\frac{g^\prime(1)}{h(1)}$中，根据阶乘的性质$(n + 1)!=(n + 1)\times n\times(n - 1)!$，则$f^\prime(1)=\frac{(-1)^{n - 1}(n - 1)!}{(n + 1)!}=\frac{(-1)^{n - 1}}{n(n + 1)}$。