设随机变量 X sim N(1,1), 概率密度为 f(x), 分布函数 F(x), 则下列正确的是____.A. f(x) = f(-x), x in RB. PX leq 0 = PX geq 0C. F(x) = 1 - F(-x), x in RD. PX leq 1 = PX geq 1

本题考查正态分布的性质，解题的关键在于明确正态分布的概率密度函数、分布函数的特点以及正态分布的对称性。

正态分布的基本性质

若随机变量$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，其中$\mu$为均值，$\sigma^{2}$为方差，本题中$X\sim N(1,1)$，即$\mu = 1$，$\sigma^{2}=1$。正态分布的概率密度函数为$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$，分布函数$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt$，且正态分布关于$x = \mu$对称。

对各选项的分析

• 选项A：
  已知$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$，将$x$换为$-x$可得$f(-x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(-x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$。
  因为$\mu = 1$，所以$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x - 1)^{2}}{2}}$，$f(-x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(-x - 1)^{2}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x + 1)^{2}}{2}}$。
  显然$f(x)\neq f(-x)$，所以选项A错误。
• 选项B：
  由于正态分布$X\sim N(1,1)$关于$x = 1$对称，$P\{X\leq0\}$表示$x = 0$左侧的概率，$P\{X\geq0\}$表示$x = 0$右侧的概率。
  根据正态分布的对称性可知$P\{X\leq0\}\neq P\{X\geq0\}$，所以选项B错误。
• 选项C：
  分布函数$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt$，$1 - F(-x)=1-\int_{-\infty}^{-x}f(t)dt=\int_{-x}^{+\infty}f(t)dt$。
  因为正态分布$X\sim N(1,1)$关于$x = 1$对称，$F(x)\neq\int_{-x}^{+\infty}f(t)dt$，即$F(x)\neq 1 - F(-x)$，所以选项C错误。
• 选项D：
  因为正态分布$X\sim N(1,1)$关于$x = 1$对称，所以$P\{X\leq1\}$表示$x = 1$左侧的概率，$P\{X\geq1\}$表示$x = 1$右侧的概率。
  根据正态分布的对称性可知$P\{X\leq1\}=P\{X\geq1\}$，所以选项D正确。