题目
15【填空题】设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为 f(x,y)=}Ae^-(2x+3y),x>0,y>00,其他 则A=____
15【填空题】设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为 $f(x,y)=\begin{cases}Ae^{-(2x+3y)},x>0,y>0\\0,其他\end{cases}$ 则A=____
题目解答
答案
根据概率密度函数的性质，其在全平面上的积分为1。对于给定的联合概率密度函数 $ f(x, y) = \begin{cases} Ae^{-(2x + 3y)}, & x > 0, y > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $，计算积分： $\int_{0}^{+\infty} \int_{0}^{+\infty} Ae^{-(2x + 3y)} \, dx \, dy = 1$ 分离积分： $A \int_{0}^{+\infty} e^{-2x} \, dx \int_{0}^{+\infty} e^{-3y} \, dy = 1$ 计算单积分： $\int_{0}^{+\infty} e^{-2x} \, dx = \frac{1}{2}, \quad \int_{0}^{+\infty} e^{-3y} \, dy = \frac{1}{3}$ 代入得： $A \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = 1 \implies A = 6$ 答案： $\boxed{6}$
解析
本题考查二维随机变量概率密度函数函数的性质，解题思路是利用概率密度函数在全平面上的积分为$1$这一性质来求解$A$的值。
- 首先根据概率密度函数的性质列出积分等式：
$\int_{0}^{+\infty} \int_{0}^{+\infty} Ae^{-(2x + 3y)} \, dx \, dy = 1$
. 然后将积分中的常数$A$分离出来：
$A \int_{0}^{+\infty} e^{-2x} \, dx \int_{0}^{+\infty} e^{-3y} \, dy = 1$
. 接着分别计算两个单积分：
$\int_{0}^{+\infty} e^{-2x} \, dx = \left[-\frac{1}{2}e^{-2x}\right]_{0}^{+\infty} = \frac{1}{2}$
$\int_{0}^{+\infty} e^{-3y} \, dy = \left[-\frac{1}{3}e^{-3y}\right]_{0}^{+\infty} = \frac{1}{3}$
. 最后将计算得到的单积分结果代入积分等式中求解$A$：
$A \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = 1$
$A \cdot \frac{1}{6} = 1$
$A = 6$