题目

设 X sim N(0,1), Phi(1) = 0.8413, 则 P(|X| A. 0.9772B. 0.8413C. 0.6826D. 0.1587

设 $X \sim N(0,1)$, $\Phi(1) = 0.8413$, 则 $P(|X| < 1) = ($ $)$

A. 0.9772

B. 0.8413

C. 0.6826

D. 0.1587

题目解答

答案

C. 0.6826

解析

本题考查正态分布的性质以及标准正态分布概率的计算。解题的关键思路是利用绝对值不等式的性质将$P(|X| \lt 1)$进行转化，再结合标准正态分布的概率计算公式和已知条件$\varPhi(1)=0.8413$来求解。

  1. 对$P(|X| \lt 1)$进行转化：
    根据绝对值不等式$\vert a\vert\lt b$等价于$-b\lt a\lt b$，可得$P(|X| \lt 1)=P(-1 \lt X \lt 1)$。
  2. 利用正态分布概率公式进一步转化：
    对于标准正态分布$X\sim N(0,1)$，其概率$P(-1 \lt X \lt 1)$可表示为$\varPhi(1)-\varPhi(-1)$，其中$\varPhi(x)$是标准正态分布的分布函数。
  3. 根据标准正态分布的性质计算$\varPhi(-1)$：
    标准正态分布具有对称性，即$\varPhi(-x)=1 - \varPhi(x)$，所以$\varPhi(-1)=1 - \varPhi(1)$。
    已知$\varPhi(1) = 0.8413$，则$\varPhi(-1)=1 - 0.8413 = 0.1587$。
  4. 计算$P(|X| \lt 1)$的值：
    将$\varPhi(1) = 0.8413$和$\varPhi(-1)=0.1587$代入$P(|X| \lt 1)=\varPhi(1)-\varPhi(-1)$，可得：
    $P(|X| \lt 1)=0.8413 - 0.1587 = 0.6826$