题目
1.计算题某厂生产圆球，其圆球直径X可以认为服从正态分布N(mu,sigma^2)，其中sigma^2=0.05，从某天的产品里随机抽取6个，测得直径（单位：cm）如下：14.70，15.21，14.90，14.91，15.32，15.32试求μ的置信度为95%的置信区间。
1.计算题
某厂生产圆球，其圆球直径X可以认为服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$，其中$\sigma^{2}=0.05$，从某天的产品里随机抽取6个，测得直径（单位：cm）如下：
14.70，15.21，14.90，14.91，15.32，15.32
试求μ的置信度为95%的置信区间。
题目解答
答案
1. **计算样本均值**：
\[
\overline{X} = \frac{14.70 + 15.21 + 14.90 + 14.91 + 15.32 + 15.32}{6} = 15.06
\]
2. **确定置信区间公式**：
\[
\mu \in \left(\overline{X} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)
\]
其中，$\alpha = 0.05$，$z_{0.025} = 1.96$，$\sigma = \sqrt{0.05}$，$n = 6$。
3. **代入数值**：
\[
\mu \in \left(15.06 - 1.96 \sqrt{\frac{0.05}{6}}, 15.06 + 1.96 \sqrt{\frac{0.05}{6}}\right)
\]
4. **计算区间**：
\[
\sqrt{\frac{0.05}{6}} \approx 0.0913, \quad 1.96 \times 0.0913 \approx 0.1789
\]
\[
\mu \in (15.06 - 0.1789, 15.06 + 0.1789) \approx (14.8811, 15.2389)
\]
**答案**：
$\boxed{(14.88, 15.24)}$ 或
$\boxed{\left(15.06 - 1.96 \sqrt{\frac{0.05}{6}}, 15.06 + 1.96 \sqrt{\frac{0.05}{6}}\right)}$
解析
步骤 1：计算样本均值
首先，我们需要计算样本均值 $\overline{X}$，这是所有样本值的平均值。样本值为：14.70，15.21，14.90，14.91，15.32，15.32。
\[ \overline{X} = \frac{14.70 + 15.21 + 14.90 + 14.91 + 15.32 + 15.32}{6} = 15.06 \]
步骤 2：确定置信区间公式
由于总体标准差 $\sigma$ 已知，我们可以使用正态分布的置信区间公式来估计总体均值 $\mu$。置信度为95%的置信区间公式为：
\[ \mu \in \left(\overline{X} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \]
其中，$\alpha = 0.05$，$z_{0.025} = 1.96$，$\sigma = \sqrt{0.05}$，$n = 6$。
步骤 3：代入数值并计算
将已知数值代入置信区间公式中，计算出置信区间。
\[ \mu \in \left(15.06 - 1.96 \sqrt{\frac{0.05}{6}}, 15.06 + 1.96 \sqrt{\frac{0.05}{6}}\right) \]
\[ \sqrt{\frac{0.05}{6}} \approx 0.0913, \quad 1.96 \times 0.0913 \approx 0.1789 \]
\[ \mu \in (15.06 - 0.1789, 15.06 + 0.1789) \approx (14.8811, 15.2389) \]
首先，我们需要计算样本均值 $\overline{X}$，这是所有样本值的平均值。样本值为：14.70，15.21，14.90，14.91，15.32，15.32。
\[ \overline{X} = \frac{14.70 + 15.21 + 14.90 + 14.91 + 15.32 + 15.32}{6} = 15.06 \]
步骤 2：确定置信区间公式
由于总体标准差 $\sigma$ 已知，我们可以使用正态分布的置信区间公式来估计总体均值 $\mu$。置信度为95%的置信区间公式为：
\[ \mu \in \left(\overline{X} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \]
其中，$\alpha = 0.05$，$z_{0.025} = 1.96$，$\sigma = \sqrt{0.05}$，$n = 6$。
步骤 3：代入数值并计算
将已知数值代入置信区间公式中，计算出置信区间。
\[ \mu \in \left(15.06 - 1.96 \sqrt{\frac{0.05}{6}}, 15.06 + 1.96 \sqrt{\frac{0.05}{6}}\right) \]
\[ \sqrt{\frac{0.05}{6}} \approx 0.0913, \quad 1.96 \times 0.0913 \approx 0.1789 \]
\[ \mu \in (15.06 - 0.1789, 15.06 + 0.1789) \approx (14.8811, 15.2389) \]