题目

判断题（共10题，50.0分）题型说明：判断题，每题5分，共50分19.（5.0分）积分int_(0)^(pi)/(2)cos xdx=1。（）A 对B 错

判断题（共10题，50.0分） 题型说明：判断题，每题5分，共50分 19.（5.0分）积分$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos xdx=1$。（） A 对 B 错

题目解答

答案

计算积分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx$： \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = \sin x \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin \frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1 \] 因此，积分值为1，原题说法正确。 答案：A. 对

解析

本题考查定积分的计算。解题思路是先找到被积函数$\cos x$的一个原函数，然后根据牛顿 - 莱布尼茨公式$\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b)-F(a)$（其中$F(x)$是$f(x)$的一个原函数）来计算定积分的值，最后判断该值是否等于$1$。

  1. 首先，根据求导公式$(\sin x)^\prime=\cos x$，可知$\cos x$的一个原函数是$\sin x$。
  2. 然后，根据牛顿 - 莱布尼茨公式计算定积分$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos xdx$的值：
    • 由牛顿 - 莱布尼茨公式$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos xdx=\sin x\big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}$。
    • 计算$\sin x\big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}$，即$\sin\frac{\pi}{2}-\sin0$。
    • 因为$\sin\frac{\pi}{2} = 1$，$\sin0 = 0$，所以$\sin\frac{\pi}{2}-\sin0=1 - 0 = 1$。
  3. 最后，由于计算得到的积分值为$1$，与题目中所给的积分值相等，所以该判断题的说法是正确的。