题目
5.(计算题，10分)设X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自总体Xsim B(n,p)的样本，求未知参数n和p的矩估计量.
5.(计算题，10分)
设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自总体$X\sim B(n,p)$的样本，求未知参数n和p的矩估计量.
题目解答
答案
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自二项分布 $B(n, p)$ 的样本，其期望和方差分别为：
\[ E(X) = np, \quad D(X) = np(1-p). \]
使用样本均值 $\overline{X}$ 和样本方差 $B_2$ 近似总体矩：
\[ np \approx \overline{X}, \quad np(1-p) \approx B_2. \]
解方程组：
1. $np = \overline{X}$ 得 $p = \frac{\overline{X}}{n}$，
2. 代入得 $\overline{X}(1 - \frac{\overline{X}}{n}) = B_2$，解得 $n = \frac{\overline{X}^2}{\overline{X} - B_2}$，
3. 进而 $p = \frac{\overline{X} - B_2}{\overline{X}}$。
**答案：**
\[
\boxed{
\hat{n} = \frac{\overline{X}^2}{\overline{X} - B_2}, \quad
\hat{p} = \frac{\overline{X} - B_2}{\overline{X}}
}
\]
其中，$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$，$B_2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$。
解析
步骤 1：确定总体的期望和方差
对于二项分布 $B(n, p)$，其期望和方差分别为：
\[ E(X) = np, \quad D(X) = np(1-p). \]
步骤 2：使用样本矩近似总体矩
使用样本均值 $\overline{X}$ 和样本方差 $B_2$ 近似总体矩：
\[ np \approx \overline{X}, \quad np(1-p) \approx B_2. \]
步骤 3：解方程组求解参数
1. 从 $np = \overline{X}$ 得到 $p = \frac{\overline{X}}{n}$。
2. 将 $p = \frac{\overline{X}}{n}$ 代入 $np(1-p) = B_2$，得到 $\overline{X}(1 - \frac{\overline{X}}{n}) = B_2$。
3. 解方程 $\overline{X}(1 - \frac{\overline{X}}{n}) = B_2$ 得到 $n = \frac{\overline{X}^2}{\overline{X} - B_2}$。
4. 进而得到 $p = \frac{\overline{X} - B_2}{\overline{X}}$。
对于二项分布 $B(n, p)$，其期望和方差分别为：
\[ E(X) = np, \quad D(X) = np(1-p). \]
步骤 2：使用样本矩近似总体矩
使用样本均值 $\overline{X}$ 和样本方差 $B_2$ 近似总体矩：
\[ np \approx \overline{X}, \quad np(1-p) \approx B_2. \]
步骤 3：解方程组求解参数
1. 从 $np = \overline{X}$ 得到 $p = \frac{\overline{X}}{n}$。
2. 将 $p = \frac{\overline{X}}{n}$ 代入 $np(1-p) = B_2$，得到 $\overline{X}(1 - \frac{\overline{X}}{n}) = B_2$。
3. 解方程 $\overline{X}(1 - \frac{\overline{X}}{n}) = B_2$ 得到 $n = \frac{\overline{X}^2}{\overline{X} - B_2}$。
4. 进而得到 $p = \frac{\overline{X} - B_2}{\overline{X}}$。