题目
（）1.设A与B是任意两个事件，则必有P(AB)=P(A)P(B)。（）2.设X为一随机变量，F(x)是X的分布函数，a为一个常数，则一定有P(X≤a)=F(a)。（）3.若X服从参数为λ的指数分布，则E(X)=λ。（）4.若随机变量X,Y相互独立，则一定有E(XY)=E(X)E(Y)。（）5.设总体X~N(μ,σ²)，X₁,X₂,…,Xₙ是总体一个样本，overline(X),S²分别是样本均值和样本方差，则(n-1)/(σ^2)S^2~χ^2(n)。
（）1.设A与B是任意两个事件，则必有P(AB)=P(A)P(B)。
（）2.设X为一随机变量，F(x)是X的分布函数，a为一个常数，则一定有P{X≤a}=F(a)。
（）3.若X服从参数为λ的指数分布，则E(X)=λ。
（）4.若随机变量X,Y相互独立，则一定有E(XY)=E(X)E(Y)。
（）5.设总体X~N(μ,σ²)，X₁,X₂,…,Xₙ是总体一个样本，$\overline{X}$,S²分别是样本均值和样本方差，则$\frac{n-1}{σ^{2}}S^{2}~χ^{2}(n)$。
题目解答
答案
1. **错误**
仅当事件 $A$ 和 $B$ 独立时，才有 $P(AB) = P(A)P(B)$。
2. **正确**
分布函数定义为 $F(x) = P\{X \leq x\}$，故 $P\{X \leq a\} = F(a)$。
3. **错误**
指数分布期望为 $E(X) = \frac{1}{\lambda}$，非 $\lambda$。
4. **正确**
独立随机变量满足 $E(XY) = E(X)E(Y)$。
5. **错误**
样本方差满足 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，自由度为 $n-1$。
**答案：**
1. $\times$
2. $\sqrt{}$
3. $\times$
4. $\sqrt{}$
5. $\times$
解析
- 事件独立性：只有当两个事件独立时，概率乘法公式才成立，否则不成立。
- 分布函数定义：分布函数$F(x)$的本质是$P\{X \leq x\}$，直接对应概率计算。
- 指数分布期望：指数分布的期望公式为$\frac{1}{\lambda}$，需注意参数关系。
- 独立随机变量性质：独立变量的期望乘积等于乘积的期望，是重要性质。
- 样本方差的卡方分布：自由度为样本量减一，需注意构造形式的正确性。
第1题
关键点：概率乘法公式仅在事件独立时成立。
若事件$A$和$B$不独立，则$P(AB) \neq P(A)P(B)$。题目中未说明独立性，因此结论错误。
第2题
关键点：分布函数的定义直接给出$F(a) = P\{X \leq a\}$。
题目描述与定义完全一致，结论正确。
第3题
关键点：指数分布的期望公式为$E(X) = \frac{1}{\lambda}$。
题目中错误地写为$\lambda$，结论错误。
第4题
关键点：独立随机变量满足$E(XY) = E(X)E(Y)$。
这是独立性的直接推论，结论正确。
第5题
关键点：样本方差的卡方分布形式为$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。
题目中自由度写为$n$且缺少分母$\sigma^2$，结论错误。