[六] 设随机变量X的分布为X -2 0 2Pk0.4 0.3 0.3求 E(X), E(3X2+5)

考查要点：本题主要考查离散型随机变量的期望计算，以及利用期望的线性性质处理函数期望的能力。

解题核心思路：

1. 直接计算法：根据期望的定义，计算每个取值乘以对应概率的和。
2. 线性性质应用：对于形如$E(aX^2 + b)$的期望，可分解为$aE(X^2) + b$，其中$E(X^2)$需先单独计算。

破题关键点：

• 正确代入公式：明确离散型期望的计算公式，注意符号和概率对应。
• 平方处理：计算$E(X^2)$时，需先对每个取值平方后再乘以对应概率。

计算$E(X)$

根据期望定义：
$E(X) = \sum x_i P(x_i) = (-2) \times 0.4 + 0 \times 0.3 + 2 \times 0.3$
逐项计算：

• $(-2) \times 0.4 = -0.8$
• $0 \times 0.3 = 0$
• $2 \times 0.3 = 0.6$

相加得：
$E(X) = -0.8 + 0 + 0.6 = -0.2$

计算$E(3X^2 + 5)$

1. 计算$E(X^2)$：
   $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = (-2)^2 \times 0.4 + 0^2 \times 0.3 + 2^2 \times 0.3$
   逐项计算：

• $4 \times 0.4 = 1.6$
• $0 \times 0.3 = 0$
• $4 \times 0.3 = 1.2$

相加得：
$E(X^2) = 1.6 + 0 + 1.2 = 2.8$

2. 应用线性性质：
   $E(3X^2 + 5) = 3E(X^2) + E(5) = 3 \times 2.8 + 5 = 8.4 + 5 = 13.4$