如果矩阵 A = } a & 1 & 1 1 & a & 1 1 & 1 & a 的秩为 1，则 a = ( ).A. -1B. 0C. 1D. 2

本题考查矩阵秩的概念以及行列式行列式的计算。解题思路是根据矩阵秩为$1$的性质，得到矩阵的行列式为$0$，进而求出$a$的可能值，再对这些值进行检验，，确定满足矩阵秩为$1$的$a$的值。

1. 根据矩阵秩为$1$得到行列式为$0$：

已知矩阵$A$的秩为$1$，根据矩阵的秩小于矩阵的阶数时，矩阵的行列式的值为$0$。因为矩阵$A$是$3\begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$，为$3$阶矩阵，所以$\vert A\vert = 0$。
2. 计算矩阵$1)的行列式\(\vert A\vert$：
根据三阶行列式的计算公式\(\begin{vmatrix} x_{11} & y_{1} & z_{1}\\ x_{2} & y_{2} & z_{2}\\ x_{3} & y_{3} & z_{3} \end{vmatrix}=x_{1}\begin{vmatrix} y_{2} & z_{2}\\ }\\ y_{3} & z_{3} \end{vmatrix}-y_{1}\begin{vmatrix} x_{2} & z_{2} }\\ x_{3} & z_{3} \end{vmatrix}+z_{1}\begin{vmatrix} x_{2} & y_{2} }\\ x_{3} & y_{3} \end{vmatrix}\)，可得：
$\begin{align*}{|A|}&= a\begin{vmatrix}a & 1 \\1 & a\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}1 & 1 \\1 & a\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}1 & a \\1 & 1\end{vmatrix}\\&= a(a^2 - 1) - (a - 1) + (1 - a)\\&= a^3 - a - a + 1 + 1 - a\\= a^3 - 3a + 2\end*}$
3. 求解$\vert A\vert = 0$时$a$的值：
令$2)式\(a^3 - 3a + 2 = 0$，对其进行因式分解：
$\begin{align*}a^3 - 3a + 2&=a^3 - a - 2a + 2\\&=a(a^2 - 1) - 2(a - 1)\\&=a(a - 1)(a + 1) - 2(a - 1)\\&=(a - 1)^2(a + 2)\end{align*}$
则$(a - 1)^2(a + 2)=0$，解得$a = 1$或$a = -2$。
4. 对$a$的值进行检验：

• 当$a = 1$时，矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$，此时矩阵$A$的所有行向量都相同，矩阵的秩为$3)\(1$，满足条件。
• 当$a = 2$时，矩阵$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$，对其进行初等行变换：
  $r_1 - 2r_2$，$r_3 - r_2$可得$\begin{pmatrix} 0 & -3 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$，此时矩阵的秩为$3$，不满足条件。

综上，$a = 1$。