题目

练习题设x服从μ=30.26，sigma^2=5.10^2的正态分布，试求P(21.64≤x<32.98)。

练习题 设x服从$μ=30.26，\sigma^{2}=5.10^{2}$的正态分布，试求P(21.64≤x<32.98)。

题目解答

答案

设 $ X \sim N(30.26, 5.10^2) $，求 $ P(21.64 \leq X < 32.98) $。
将 $ X $ 转化为标准正态变量 $ Z $，其中 $ Z = \frac{X - 30.26}{5.10} $。
转换区间得：
$P\left(\frac{21.64 - 30.26}{5.10} \leq Z < \frac{32.98 - 30.26}{5.10}\right) = P(-1.69 \leq Z < 0.53)$
利用标准正态分布性质：
$P(-1.69 \leq Z < 0.53) = \Phi(0.53) - \Phi(-1.69) = \Phi(0.53) + \Phi(1.69) - 1$
查表得：
$\Phi(0.53) \approx 0.7019, \quad \Phi(1.69) \approx 0.9545$
代入计算：
$P(-1.69 \leq Z < 0.53) \approx 0.7019 + 0.9545 - 1 = 0.6564$
答案： $\boxed{0.6564}$

解析

本题考查正态分布的概率计算，解题思路是先将给定的正态分布变量转化为标准正态分布变量，再利用标准正态分布的性质和标准正态分布表来计算概率。

  1. 将正态分布变量转化为标准正态分布变量：
    已知$X\sim N(30.26, 5.10^2)$，即$X$服从均值$\mu = 30.26$，方差$\sigma^{2}=5.10^{2}$的正态分布。根据正态分布的标准化公式$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，这里$\mu = 30.26$，$\sigma = 5.10$，则$Z = \frac{X - 30.26}{5.10}$，且$Z\sim N(0,1)$。
    对于$P(21.64\leq X < 32.98)$，将区间端点进行标准化：
    • 当$X = 21.64$时，$Z_1=\frac{21.64 - 30.26}{5.10}=\frac{-8.62}{5.10}\approx - 1.69$；
    • 当$X = 32.98$时，$Z_2=\frac{32.98 - 30.26}{5.10}=\frac{2.72}{5.10}\approx0.53$。
      所以$P(21.64\leq X < 32.98)=P\left(\frac{21.64 - 30.26}{5.10} \leq Z < \frac{32.98 - 30.26}{5.10}\right)=P(-1.69 \leq Z < 0.53)$。
  2. 利用标准正态分布性质计算概率：
    设$\varPhi(z)$为标准正态分布$N(0,1)$的分布函数，根据标准正态分布的性质$P(a\leq Z < b)=\varPhi(b)-\varPhi(a)$，以及$\varPhi(-z)=1 - \varPhi(z)$，可得$P(-1.69 \leq Z < 0.53)=\varPhi(0.53)-\varPhi(-1.69)$。
    又因为$\varPhi(-1.69)=1 - \varPhi(1.69)$，所以$P(-1.69 \leq Z < 0.53)=\varPhi(0.53)-(1 - \varPhi(1.69))=\varPhi(0.53)+\varPhi(1.69)-1$。
  3. 查标准正态分布表并计算结果：
    查标准正态分布表可得$\varPhi(0.53)\approx 0.7019$，$\varPhi(1.69)\approx 0.9545$。
    将其代入上式可得：
    $P(-1.69 \leq Z < 0.53)\approx 0.7019 + 0.9545 - 1$
    $=1.6564 - 1$
    $= 0.6564$