题目
5.设总体Xsim N(mu,sigma^2)，X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自X的样本，bar(X)为样本均值，则(bar(X)-mu)/(sigma/sqrt(n))服从____分布.
5.设总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自X的样本，$\bar{X}$为样本均值，则$\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$服从____分布.
题目解答
答案
为了确定$\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$的分布，我们需要理解样本均值$\bar{X}$的性质以及它与总体均值$\mu$和总体标准差$\sigma$的关系。
1. **识别样本均值的分布：**
给定$X_1, X_2, \cdots, X_n$是来自正态总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$的样本，样本均值$\bar{X}$也服从正态分布。样本均值$\bar{X}$的均值是$\mu$，样本均值$\bar{X}$的方差是$\frac{\sigma^2}{n}$。因此，我们可以写成：
\[
\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)
\]
2. **标准化样本均值：**
为了标准化$\bar{X}$，我们从$\bar{X}$中减去其均值$\mu$，然后除以其标准差$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。这给我们：
\[
\frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}
\]
由于$\bar{X}$服从正态分布$N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，标准化变量$\frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$服从标准正态分布$N(0, 1)$。
3. **结论：**
因此，$\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$服从标准正态分布。答案是：
\[
\boxed{N(0,1)}
\]
解析
步骤 1：识别样本均值的分布
给定$X_1, X_2, \cdots, X_n$是来自正态总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$的样本，样本均值$\bar{X}$也服从正态分布。样本均值$\bar{X}$的均值是$\mu$，样本均值$\bar{X}$的方差是$\frac{\sigma^2}{n}$。因此，我们可以写成： \[ \bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right) \]
步骤 2：标准化样本均值
为了标准化$\bar{X}$，我们从$\bar{X}$中减去其均值$\mu$，然后除以其标准差$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。这给我们： \[ \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \] 由于$\bar{X}$服从正态分布$N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，标准化变量$\frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$服从标准正态分布$N(0, 1)$。
步骤 3：结论
因此，$\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$服从标准正态分布。
给定$X_1, X_2, \cdots, X_n$是来自正态总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$的样本，样本均值$\bar{X}$也服从正态分布。样本均值$\bar{X}$的均值是$\mu$，样本均值$\bar{X}$的方差是$\frac{\sigma^2}{n}$。因此，我们可以写成： \[ \bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right) \]
步骤 2：标准化样本均值
为了标准化$\bar{X}$，我们从$\bar{X}$中减去其均值$\mu$，然后除以其标准差$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。这给我们： \[ \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \] 由于$\bar{X}$服从正态分布$N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，标准化变量$\frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$服从标准正态分布$N(0, 1)$。
步骤 3：结论
因此，$\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$服从标准正态分布。