题目
6.(填空题,12.5分)设A、B都是3阶方阵,|A|=8且AB=}1&-2&30&1&20&2&4,则|B|等于____.
6.(填空题,12.5分)
设A、B都是3阶方阵,|A|=8且$AB=\begin{bmatrix}1&-2&3\\0&1&2\\0&2&4\end{bmatrix}$,则|B|等于____.
题目解答
答案
根据题目给出的信息,我们需要求解方阵 $B$ 的行列式 $|B|$。
推理过程如下:
-
利用行列式的乘法性质:
对于同阶方阵 $A$ 和 $B$,它们的乘积的行列式等于它们行列式的乘积,即:
$|AB| = |A| \cdot |B|$ -
计算矩阵 $AB$ 的行列式:
已知 $AB = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{bmatrix}$。
我们来计算这个 $3 \times 3$ 矩阵的行列式 $|AB|$。
观察矩阵可以发现,第三行向量 $(0, 2, 4)$ 是第二行向量 $(0, 1, 2)$ 的 $2$ 倍。
根据行列式的性质,如果矩阵中有两行(或两列)成比例,则该矩阵的行列式为 $0$。
因此,可以直接得出:
$|AB| = 0$
(也可以通过按第一列展开计算:$|AB| = 1 \times \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} - 0 + 0 = 1 \times (1 \times 4 - 2 \times 2) = 1 \times 0 = 0$) -
代入已知条件求解 $|B|$:
题目已知 $|A| = 8$。
将 $|A|$ 和 $|AB|$ 的值代入公式 $|AB| = |A| \cdot |B|$ 中,得到:
$0 = 8 \cdot |B|$
解这个方程,得到:
$|B| = 0$
结论:
$|B|$ 等于 $0$。