对于任意两个随机变量X和Y，下列等式成立的是（）A. E(X+Y)=E(X)+E(Y)B. E(XY)=E(X)E(Y)C. D(X+Y)=D(X)+D(Y)D. D(XY)=D(X)D(Y)

本题考查随机变量的数学期望和方差的性质。解题思路是根据数学期望和方差的定义及性质，对每个选项逐一进行分析判断。

选项A

根据数学期望的性质，对于任意两个随机变量 $X$ 和 $Y$，数学期望具有线性性质，即 $E(X + Y)=E(X)+E(Y)$。
设离散型随机变量 $X$ 的取值为 $x_1,x_2,\cdots,x_n$，对应的概率为 $p_1,p_2,\cdots,p_n$；随机变量 $Y$ 的取值为 $y_1,y_2,\cdots,y_m$，对应的概率为 $q_1,q_2,\cdots,q_m$。
$E(X)=\sum_{i = 1}^{n}x_ip_i$，$E(Y)=\sum_{j = 1}^{m}y_jq_j$。
$X + Y$ 也是一个随机变量，$E(X + Y)=\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}(x_i + y_j)p_iq_j=\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}x_ip_iq_j+\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}y_jp_iq_j$。
因为 $\sum_{j = 1}^{m}q_j = 1$，所以 $\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}x_ip_iq_j=\sum_{i = 1}^{n}x_ip_i\sum_{j = 1}^{m}q_j=E(X)$；同理 $\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}y_jp_iq_j=\sum_{j = 1}^{m}y_jq_j\sum_{i = 1}^{n}p_i=E(Y)$。
所以 $E(X + Y)=E(X)+E(Y)$，该选项正确。

选项B

一般情况下，只有当随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立时，才有 $E(XY)=E(X)E(Y)$。
例如，设 $X$ 服从参数为 $p$ 的 $0 - 1$ 分布，$Y = X$，则 $E(X)=p$，$E(Y)=p$，$E(XY)=E(X^2)=p$，而 $E(X)E(Y)=p^2$，当 $p\neq0$ 且 $p\neq1$ 时，$E(XY)\neq E(X)E(Y)$，该选项错误。

选项C

根据方差的定义 $D(X)=E[(X - E(X))^2]=E(X^2)-[E(X)]^2$，$D(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2$。
$D(X + Y)=E[(X + Y - E(X + Y))^2]=E[(X - E(X)+Y - E(Y))^2]$
$=E[(X - E(X))^2]+E[(Y - E(Y))^2]+2E[(X - E(X))(Y - E(Y))]$
$=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$
其中 $Cov(X,Y)$ 是 $X$ 和 $Y$ 的协方差。只有当 $X$ 和 $Y$ 不相关（即 $Cov(X,Y)=0$）时，才有 $D(X + Y)=D(X)+D(Y)$，该选项错误。

选项D

一般情况下，$D(XY)\neq D(X)D(Y)$。
例如，设 $X$ 服从参数为 $p$ 的 $0 - 1$ 分布，$Y = X$，$D(X)=p(1 - p)$，$D(Y)=p(1 - p)$，$D(XY)=D(X^2)=D(X)=p(1 - p)$，而 $D(X)D(Y)=p^2(1 - p)^2$，当 $p\neq0$ 且 $p\neq1$ 时，$D(XY)\neq D(X)D(Y)$，该选项错误。