14. (5.0分) lim_(x to 0 atop y to 0)(x^2+3y^2)sin(1)/(2x^2)+5y^(2)=( ). A 不存在 B ∞ C 1 D 0

为了求解极限 $\lim_{x \to 0 \atop y \to 0}(x^{2}+3y^{2})\sin\frac{1}{2x^{2}+5y^{2}}$，我们可以使用极坐标变换。极坐标变换可以将双变量极限问题转化为单变量极限问题，从而简化计算。 首先，我们设 $x = r \cos \theta$ 和 $y = r \sin \theta$。当 $x \to 0$ 和 $y \to 0$ 时，$r \to 0$。将 $x$ 和 $y$ 用 $r$ 和 $\theta$ 表示，原极限变为： \[ \lim_{r \to 0} \left( (r \cos \theta)^2 + 3(r \sin \theta)^2 \right) \sin \frac{1}{2(r \cos \theta)^2 + 5(r \sin \theta)^2} \] 简化括号内的表达式，我们得到： \[ (r \cos \theta)^2 = r^2 \cos^2 \theta \quad \text{和} \quad 3(r \sin \theta)^2 = 3r^2 \sin^2 \theta \] \[ 2(r \cos \theta)^2 = 2r^2 \cos^2 \theta \quad \text{和} \quad 5(r \sin \theta)^2 = 5r^2 \sin^2 \theta \] 代入极限表达式，我们有： \[ \lim_{r \to 0} \left( r^2 \cos^2 \theta + 3r^2 \sin^2 \theta \right) \sin \frac{1}{2r^2 \cos^2 \theta + 5r^2 \sin^2 \theta} \] 提取 $r^2$，得到： \[ \lim_{r \to 0} r^2 \left( \cos^2 \theta + 3 \sin^2 \theta \right) \sin \frac{1}{r^2 \left( 2 \cos^2 \theta + 5 \sin^2 \theta \right)} \] 令 $u = \frac{1}{r^2 \left( 2 \cos^2 \theta + 5 \sin^2 \theta \right)}$。当 $r \to 0$ 时， $u \to \infty$。因此，极限变为： \[ \lim_{u \to \infty} \frac{\cos^2 \theta + 3 \sin^2 \theta}{2 \cos^2 \theta + 5 \sin^2 \theta} \cdot \frac{\sin u}{u} \] 我们知道，$\sin u$ 是有界函数，即 $-1 \leq \sin u \leq 1$。因此，$\frac{\sin u}{u} \to 0$ 当 $u \to \infty$。所以，整个极限为： \[ \frac{\cos^2 \theta + 3 \sin^2 \theta}{2 \cos^2 \theta + 5 \sin^2 \theta} \cdot 0 = 0 \] 由于极限值与 $\theta$ 无关，原极限存在且为 0。因此，答案是： \[ \boxed{D} \]