设随机变量X服从正态分布N(mu,sigma^2)，则下列说法正确的有（）A. 正态分布的概率密度函数f(x)关于x=mu对称B. 当mu固定时，sigma越大，正态分布的曲线越“矮胖”C. P(XD. X的标准化变量Z=(X-mu)/(sigma)服从标准正态分布N(0,1)

本题考查正态分布的性质，解题思路是根据正态分布的概率密度函数、曲线特征、概率计算以及标准化变量的相关知识，对每个选项逐一进行分析判断。

选项A

正态分布的概率密度函数为$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$，$x\in(-\infty,+\infty)$。
对于任意$x_1,x_2$，若$x_1=\mu + t$，$x_2=\mu - t$（$t$为任意实数），则$f(\mu + t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{((\mu + t) - \mu)^2}{2\sigma^2}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}}$，$f(\mu - t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{((\mu - t) - \mu)^2}{2\sigma^2}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}}$。
所以$f(\mu + t)=f(\mu - t)$，这表明正态分布的概率密度函数$f(x)$关于$x = \mu$对称，选项A正确。

选项B

$\sigma$是正态分布的标准差，它反映了数据的离散程度。当$\mu$固定时，$\sigma$越大，说明数据越分散。
从正态分布的概率密度函数$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$来看，$\sigma$越大，函数的最大值$f(\mu)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$越小，曲线越“矮胖”；$\sigma$越小，函数的最大值越大，曲线越“瘦高”。所以选项B正确。

选项C

由于正态分布的概率密度函数$f(x)$关于$x = \mu$对称，那么$P(X\lt\mu)$和$P(X\gt\mu)$所对应的区域面积相等。
又因为$P(X\lt\mu)+P(X\gt\mu)=1$，所以$P(X\lt\mu)=\frac{1}{2}=0.5$，选项C正确。

选项D

若随机变量$X$服从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$，令$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。
根据正态分布的性质，可通过变量代换的方法来推导$Z$的分布。
设$Z$的分布函数为$F_Z(z)$，则$F_Z(z)=P(Z\leq z)=P(\frac{X - \mu}{\sigma}\leq z)=P(X\leq\mu + \sigma z)$。
已知$X$的分布函数为$F_X(x)$，所以$F_Z(z)=F_X(\mu + \sigma z)$。
对$F_Z(z)$求导可得$Z$的概率密度函数$f_Z(z)$，$f_Z(z)=\frac{dF_Z(z)}{dz}=f_X(\mu + \sigma z)\cdot\sigma$。
将$f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$代入上式，可得$f_Z(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{((\mu + \sigma z) - \mu)^2}{2\sigma^2}}\cdot\sigma=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}$，这正是标准正态分布$N(0,1)$的概率密度函数。
所以$X$的标准化变量$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$服从标准正态分布$N(0,1)$，选项D正确。