非齐次线性方程组 Ax=b 的通解等于对应的齐次线性方程组 Ax=0 的通解加上非齐次线性方程组 Ax=b 的一个特解。A. 对B. 错

本题考查非齐次线性方程组通解的结构这一知识点。解题思路是依据非齐次线性方程组通解的定义和性质来判断该命题的正确性。

设非齐次线性方程组 $Ax = b$，对应的齐次线性方程组为 $Ax = 0$。

1. 首先明确非齐次线性方程组通解的构成：

   • 对于非齐次线性方程组 $Ax = b$，若 $\xi_1,\xi_2$ 是 $Ax = b$ 的两个解，即 $A\xi_1=b$，$A\xi_2 = b$。

   • 那么 $A(\xi_1-\xi_2)=A\xi_1 - A\xi_2=b - b = 0$，这表明 $\xi_1-\xi_2$ 是对应的齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的解。

   • 设 $\eta^*$ 是 $Ax = b$ 的一个特解，$\xi$ 是 $Ax = 0$ 的通解（$\xi$ 可以表示为 $Ax = 0$ 的基础解系的线性组合）。

   • 对于任意的 $x=\xi+\eta^*$，有 $Ax=A(\xi+\eta^*)=A\xi+A\eta^*$。

   • 因为 $A\xi = 0$（$\xi$ 是 $Ax = 0$ 的解），$A\eta^*=b$（$\eta^*$ 是 $Ax = b$ 的特解），所以 $Ax = 0 + b=b$，这说明 $x=\xi+\eta^*$ 是 $Ax = b$ 的解。

   • 反之，对于 $Ax = b$ 的任意一个解 $x$，令 $\xi=x - \eta^*$，则 $A\xi=A(x-\eta^*)=Ax - A\eta^*=b - b = 0$，即 $\xi$ 是 $Ax = 0$ 的解，所以 $x=\xi+\eta^*$，其中 $\xi$ 是 $Ax = 0$ 的通解，$\eta^*$ 是 $Ax = b$ 的一个特解。

   • 综上，非齐次线性方程组 $Ax = b$ 的通解等于对应的齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的通解加上非齐次线性方程组 $Ax = b$ 的一个特解，该命题是正确的。