题目
设有空集 phi_1、phi_2,A 为任一非空集合。根据集合的运算性质,下列结论成立的是( )。A. phi_1 in AB. phi_2 = phi_1 cap AC. phi_2 in AD. phi_1 in phi_2
设有空集 $\phi_1$、$\phi_2$,$A$ 为任一非空集合。根据集合的运算性质,下列结论成立的是( )。
A. $\phi_1 \in A$
B. $\phi_2 = \phi_1 \cap A$
C. $\phi_2 \in A$
D. $\phi_1 \in \phi_2$
题目解答
答案
B. $\phi_2 = \phi_1 \cap A$
解析
本题考查集合的基本概念、空集的性质以及集合的交集运算。解题的关键在于理解空集的定义、元素与集合的关系以及集合与集合的关系,并运用集合的运算性质来判断各个选项的正确性。
选项A
元素与集合的关系是“属于”或“不属于”,而空集 $\phi_1$ 是一个集合,集合与集合之间的关系是“包含”或“不包含”,不能用“$\in$”来表示集合与集合的关系,所以 $\phi_1 \in A$ 这种表述是错误的。
选项B
根据交集的定义:对于两个集合 $M$ 和 $N$,它们的交集 $M \cap N$ 是由所有既属于 $M$ 又属于 $N$ 的元素所组成的集合。
已知 $\phi_1$ 是空集,即 $\phi_1$ 中没有任何元素。对于任意非空集合 $A$,由于 $\phi_1$ 中没有元素,所以既属于 $\phi_1$ 又属于 $A$ 的元素个数为 $0$,那么 $\phi_1 \cap A$ 也是空集。
又因为空集是唯一的,所以 $\phi_1 \cap A = \phi_2$,该选项正确。
选项C
同理,$\phi_2$ 是集合,集合与集合之间不能用“$\in$”表示关系,所以 $\phi_2 \in A$ 这种表述是错误的。
选项D
空集是不含任何元素的集合,所以 $\phi_2$ 中没有元素,那么不存在元素 $\phi_1$ 属于 $\phi_2$,即 $\phi_1 \in \phi_2$ 是错误的。