题目
21、设X~N(3,22),求(1).P(2<x≤5):P(-4<x≤10);P(|>2),P(x>3(2)确定c使P{x>c)=P(x≤c)
21、设X~N(3,22),求
(1).P{2<x≤5}:P{-4<x≤10};P{|>2},P{x>3
(2)确定c使P{x>c}=P{x≤c}
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算 $P\{ 2\lt x\leqslant 5\}$
根据正态分布的性质，$X \sim N(3, 2^2)$，即均值为3，方差为4。首先，将 $x$ 的值标准化，即转换为标准正态分布 $Z$ 的值。$Z = \frac{x - \mu}{\sigma}$，其中 $\mu = 3$，$\sigma = 2$。
$P\{ 2\lt x\leqslant 5\} = P\{ \frac{2-3}{2} \lt Z \leqslant \frac{5-3}{2} \} = P\{ -0.5 \lt Z \leqslant 1 \}$
步骤 2：计算 $P\{ -4\lt x\leqslant 10\}$
同样地，将 $x$ 的值标准化。
$P\{ -4\lt x\leqslant 10\} = P\{ \frac{-4-3}{2} \lt Z \leqslant \frac{10-3}{2} \} = P\{ -3.5 \lt Z \leqslant 3.5 \}$
步骤 3：计算 $P\{ |x| \gt 2\}$
$P\{ |x| \gt 2\} = P\{ x \lt -2 \} + P\{ x \gt 2 \}$
步骤 4：计算 $P\{ x \gt 3\}$
$P\{ x \gt 3\} = P\{ Z \gt \frac{3-3}{2} \} = P\{ Z \gt 0 \}$
步骤 5：确定 $c$ 使 $P\{ x \gt c\} = P\{ x \leqslant c\}$
根据正态分布的对称性，$P\{ x \gt c\} = P\{ x \leqslant c\}$ 时，$c$ 必须等于均值 $\mu$，即 $c = 3$。
根据正态分布的性质，$X \sim N(3, 2^2)$，即均值为3，方差为4。首先，将 $x$ 的值标准化，即转换为标准正态分布 $Z$ 的值。$Z = \frac{x - \mu}{\sigma}$，其中 $\mu = 3$，$\sigma = 2$。
$P\{ 2\lt x\leqslant 5\} = P\{ \frac{2-3}{2} \lt Z \leqslant \frac{5-3}{2} \} = P\{ -0.5 \lt Z \leqslant 1 \}$
步骤 2：计算 $P\{ -4\lt x\leqslant 10\}$
同样地，将 $x$ 的值标准化。
$P\{ -4\lt x\leqslant 10\} = P\{ \frac{-4-3}{2} \lt Z \leqslant \frac{10-3}{2} \} = P\{ -3.5 \lt Z \leqslant 3.5 \}$
步骤 3：计算 $P\{ |x| \gt 2\}$
$P\{ |x| \gt 2\} = P\{ x \lt -2 \} + P\{ x \gt 2 \}$
步骤 4：计算 $P\{ x \gt 3\}$
$P\{ x \gt 3\} = P\{ Z \gt \frac{3-3}{2} \} = P\{ Z \gt 0 \}$
步骤 5：确定 $c$ 使 $P\{ x \gt c\} = P\{ x \leqslant c\}$
根据正态分布的对称性，$P\{ x \gt c\} = P\{ x \leqslant c\}$ 时，$c$ 必须等于均值 $\mu$，即 $c = 3$。