题目
若=lim _(xarrow infty )((x)^2sin dfrac (3)({x)^2+1}),则=lim _(xarrow infty )((x)^2sin dfrac (3)({x)^2+1})的值等于( )。A. 2; B. 3; C. 1; D.
若
,则
的值等于( )。
B. 3;
C. 1;
D.
题目解答
答案
若,则的值等于( B )。
(A) 2; (B) 3; (C) 1; (D) 0
解析
步骤 1：转换极限形式
首先，我们观察到当$x\rightarrow \infty$时，$\dfrac{3}{{x}^{2}+1}$会趋向于0。因此，我们可以利用$\sin x$在$x\rightarrow 0$时的近似公式$\sin x \approx x$来简化极限的计算。
步骤 2：应用近似公式
将$\sin \dfrac{3}{{x}^{2}+1}$近似为$\dfrac{3}{{x}^{2}+1}$，则原极限变为$\lim _{x\rightarrow \infty }({x}^{2}\cdot \dfrac{3}{{x}^{2}+1})$。
步骤 3：计算极限
计算$\lim _{x\rightarrow \infty }({x}^{2}\cdot \dfrac{3}{{x}^{2}+1})$，可以将$x^2$提取出来，得到$\lim _{x\rightarrow \infty }({x}^{2}\cdot \dfrac{3}{{x}^{2}+1}) = \lim _{x\rightarrow \infty }({x}^{2}\cdot \dfrac{3}{{x}^{2}(1+\dfrac{1}{{x}^{2}})}) = \lim _{x\rightarrow \infty }({x}^{2}\cdot \dfrac{3}{{x}^{2}}\cdot \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{{x}^{2}}}) = \lim _{x\rightarrow \infty }(\dfrac{3}{1+\dfrac{1}{{x}^{2}}})$。
步骤 4：求解
当$x\rightarrow \infty$时，$\dfrac{1}{{x}^{2}}\rightarrow 0$，因此$\lim _{x\rightarrow \infty }(\dfrac{3}{1+\dfrac{1}{{x}^{2}}}) = \dfrac{3}{1+0} = 3$。
首先，我们观察到当$x\rightarrow \infty$时，$\dfrac{3}{{x}^{2}+1}$会趋向于0。因此，我们可以利用$\sin x$在$x\rightarrow 0$时的近似公式$\sin x \approx x$来简化极限的计算。
步骤 2：应用近似公式
将$\sin \dfrac{3}{{x}^{2}+1}$近似为$\dfrac{3}{{x}^{2}+1}$，则原极限变为$\lim _{x\rightarrow \infty }({x}^{2}\cdot \dfrac{3}{{x}^{2}+1})$。
步骤 3：计算极限
计算$\lim _{x\rightarrow \infty }({x}^{2}\cdot \dfrac{3}{{x}^{2}+1})$，可以将$x^2$提取出来，得到$\lim _{x\rightarrow \infty }({x}^{2}\cdot \dfrac{3}{{x}^{2}+1}) = \lim _{x\rightarrow \infty }({x}^{2}\cdot \dfrac{3}{{x}^{2}(1+\dfrac{1}{{x}^{2}})}) = \lim _{x\rightarrow \infty }({x}^{2}\cdot \dfrac{3}{{x}^{2}}\cdot \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{{x}^{2}}}) = \lim _{x\rightarrow \infty }(\dfrac{3}{1+\dfrac{1}{{x}^{2}}})$。
步骤 4：求解
当$x\rightarrow \infty$时，$\dfrac{1}{{x}^{2}}\rightarrow 0$，因此$\lim _{x\rightarrow \infty }(\dfrac{3}{1+\dfrac{1}{{x}^{2}}}) = \dfrac{3}{1+0} = 3$。