8.一位中学校长在报纸上看到这样的报道：“这一城市的初中学生平均每周看8h电视。”她为她所在学校学生看电视的时间明显小于该数字。为此她在该校随机调查了100个学生，得知平均每周看电视的时间overline(x)=6.5h，样本标准差为s=2h。问是否可以认为这位校长的看法是对的(取a=0.05)?

本题考查的是单个总体均值的假设检验，解题思路是先根据题目信息提出原假设和备择假设，然后选择合适的检验统计量，根据给定的显著性水平确定临界值，最后将计算得到的检验统计量的值与临界值进行比较，从而做出是否拒绝原假设的决策。

1. 提出假设：
   • 原假设 $H_0: \mu = 8$，表示该校学生平均每周看电视的时间等于该城市初中学生平均每周看电视的时间。
   • 备择假设 $H_1: \mu < 8$，表示该校学生平均每周看电视的时间明显小于该城市初中学生平均每周看电视的时间，这与校长的看法一致。
2. 选择检验统计量：
   • 由于总体标准差未知，但样本容量 $n = 100$ 较大（一般认为 $n\geq30$ 即为大样本），此时可以用样本标准差 $s$ 近似代替总体标准差 $\sigma$，采用 $Z$ 检验统计量，其公式为 $Z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}$，其中 $\overline{X}$ 是样本均值，$\mu_0$ 是原假设中的总体均值，$S$ 是样本标准差，$n$ 是样本容量。
3. 计算检验统计量的值：
   • 已知 $\overline{x} = 6.5$，$\mu_0 = 8$，$s = 2$，$n = 100$，将这些值代入 $Z$ 检验统计量公式可得：
     $\begin{align*}Z&=\frac{\overline{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}\\&=\frac{6.5 - 8}{2 / \sqrt{100}}\\&=\frac{-1.5}{2 / 10}\\&=\frac{-1.5}{0.2}\\&=-7.5\end{align*}$
4. 确定临界值：
   • 给定显著性水平 $\alpha = 0.05$，因为是左侧检验（备择假设为 $\mu < 8$），所以临界值 $Z_{\alpha}$ 满足 $P(Z < Z_{\alpha}) = \alpha$。
   • 查标准正态分布表可得 $Z_{0.05} = -1.645$。
5. 做出决策：
   • 比较检验统计量 $Z$ 的值与临界值 $Z_{\alpha}$ 的大小，若 $Z < Z_{\alpha}$，则拒绝原假设 $H_0$，接受备择假设 $H_1$；若 $Z \geq Z_{\alpha}$，则不拒绝原假设 $H_0$。
   • 由于 $Z = -7.5 < -1.645$，所以拒绝原假设 $H_0$，接受备择假设 $H_1$，即可以认为这位校长的看法是对的。