题目
X_(1), X_(2), ..., X_(n) 是取自 N(mu, sigma^2) 的一个样本.(1) 写出样本的联合分布列；(2) sum_(i=1)^n X_(i) 的密度函数，E overline(X), D overline(X)；(3) 指出下列子样函数中哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？T_(1) = X_(1) + ... + X_(n), T_(2) = sum_(i=1)^n (X_(i)^2)/(sigma^2), T_(3) = X_(5) + 2mu, T_(4) = max(X_(1), ..., X_(n)), T_(5) = (X_(n) - X_(1))/(2)(4) 如果样本的一个观察值是 (4, 4.2, 3.4, 5.6, 3.8)，写出样本均值、样本方差和经验分布函数.
$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是取自 $N(\mu, \sigma^{2})$ 的一个样本.
(1) 写出样本的联合分布列；
(2) $\sum_{i=1}^{n} X_{i}$ 的密度函数，$E \overline{X}$, $D \overline{X}$；
(3) 指出下列子样函数中哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？
$T_{1} = X_{1} + \cdots + X_{n}$, $T_{2} = \sum_{i=1}^{n} \frac{X_{i}^{2}}{\sigma^{2}}$, $T_{3} = X_{5} + 2\mu$, $T_{4} = \max(X_{1}, \cdots, X_{n})$, $T_{5} = \frac{X_{n} - X_{1}}{2}$
(4) 如果样本的一个观察值是 $(4, 4.2, 3.4, 5.6, 3.8)$，写出样本均值、样本方差和经验分布函数.
题目解答
答案
(1) 样本联合分布：
$$
f(x_1, \ldots, x_n) = \frac{1}{(2\pi\sigma^2)^{n/2}} \exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2\right)
$$
(2) $\sum_{i=1}^n X_i$ 的密度函数：
$$
f_{\sum X_i}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi n\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x - n\mu)^2}{2n\sigma^2}\right)
$$
$E\bar{X} = \mu$，$D\bar{X} = \frac{\sigma^2}{n}$
(3) 统计量：$T_1$，$T_4$，$T_5$（不包含未知参数）；非统计量：$T_2$，$T_3$（包含未知参数）
(4) 样本均值：$\bar{x} = 4.2$，样本方差：$s^2 = 0.7$，经验分布函数：
$$
F_n(x) = \begin{cases}
0 & x < 3.4 \\
0.2 & 3.4 \leq x < 3.8 \\
0.4 & 3.8 \leq x < 4 \\
0.6 & 4 \leq x < 4.2 \\
0.8 & 4.2 \leq x < 5.6 \\
1 & x \geq 5.6
\end{cases}
$$
$$
\boxed{
\begin{array}{ccccc}
\text{(1) 见解析} & \text{(2) 见解析} & \text{(3) 统计量：} T_1, T_4, T_5 & \text{非统计量：} T_2, T_3 \\
\text{(4) 均值：} 4.2 & \text{方差：} 0.7 & \text{经验分布函数：} \text{见解析}
\end{array}
}
$$