题目
设随机变量X和Y的相关系数为0.5，E（X）=E（Y）=0，E（X2）=E（Y2）=2，则E（X+Y）2=（）。
设随机变量X和Y的相关系数为0.5，E（X）=E（Y）=0，E（X2）=E（Y2）=2，则E（X+Y）2=（）。
题目解答
答案
6
解析
步骤 1：计算E(X+Y)^2
根据方差的性质，我们有E[(X+Y)^2] = E[X^2] + E[Y^2] + 2E[XY]。由于E(X) = E(Y) = 0，E(X^2) = E(Y^2) = 2，我们需要计算E[XY]。
步骤 2：计算E[XY]
E[XY] = Cov(X,Y) + E(X)E(Y)。由于E(X) = E(Y) = 0，E[XY] = Cov(X,Y)。根据相关系数的定义，Cov(X,Y) = ρσ_Xσ_Y，其中ρ是X和Y的相关系数，σ_X和σ_Y分别是X和Y的标准差。由于E(X^2) = E(Y^2) = 2，σ_X = σ_Y = √2。因此，Cov(X,Y) = 0.5 * √2 * √2 = 1。
步骤 3：计算E[(X+Y)^2]
将E[X^2] = 2，E[Y^2] = 2，E[XY] = 1代入E[(X+Y)^2] = E[X^2] + E[Y^2] + 2E[XY]，得到E[(X+Y)^2] = 2 + 2 + 2 * 1 = 6。
根据方差的性质，我们有E[(X+Y)^2] = E[X^2] + E[Y^2] + 2E[XY]。由于E(X) = E(Y) = 0，E(X^2) = E(Y^2) = 2，我们需要计算E[XY]。
步骤 2：计算E[XY]
E[XY] = Cov(X,Y) + E(X)E(Y)。由于E(X) = E(Y) = 0，E[XY] = Cov(X,Y)。根据相关系数的定义，Cov(X,Y) = ρσ_Xσ_Y，其中ρ是X和Y的相关系数，σ_X和σ_Y分别是X和Y的标准差。由于E(X^2) = E(Y^2) = 2，σ_X = σ_Y = √2。因此，Cov(X,Y) = 0.5 * √2 * √2 = 1。
步骤 3：计算E[(X+Y)^2]
将E[X^2] = 2，E[Y^2] = 2，E[XY] = 1代入E[(X+Y)^2] = E[X^2] + E[Y^2] + 2E[XY]，得到E[(X+Y)^2] = 2 + 2 + 2 * 1 = 6。