已知 beta_1, beta_2 是非齐次线性方程组 Ax=B 的两个不同的解，alpha_1, alpha_2 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，C_1, C_2 为任意常数，则方程组 Ax=B 的通解可以表为A. (1)/(2)(beta_1+beta_2)+C_1alpha_1+C_2(beta_1-beta_2)B. (1)/(2)(beta_1+beta_2)+C_1alpha_1+C_2(alpha_1+alpha_2)C. (1)/(2)(beta_1-beta_2)+C_1alpha_1+C_2(alpha_1+alpha_2)D. (1)/(2)(beta_1-beta_2)+C_1alpha_1+C_2(beta_1+beta_2)

本题考查非齐次线性方程组通解的结构。解题的关键在于明确非齐次线性方程组的通解由其一个特解加上对应的齐次线性方程组的通解构成，同时要判断所给向量是否为齐次线性方程组的解以及是否线性无关。

步骤一：分析非齐次线性方程组通解的结构

对于非齐次线性方程组 $Ax = B$，其通解的形式为 $x = \eta^* + k_1\xi_1 + k_2\xi_2+\cdots + k_{n - r}\xi_{n - r}$，其中 $\eta^*$ 是 $Ax = B$ 的一个特解，$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n - r}$ 是对应的齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的一个基础解系，$k_1,k_2,\cdots,k_{n - r}$ 为任意常数。

步骤二：判断特解

已知 $\beta_1,\beta_2$ 是非齐次线性方程组 $Ax = B$ 的两个不同的解，则有 $A\beta_1 = B$，$A\beta_2 = B$。
计算 $A\left[\frac{1}{2}(\beta_1 + \beta_2)\right]$：
根据矩阵乘法的分配律可得 $A\left[\frac{1}{2}(\beta_1 + \beta_2)\right]=\frac{1}{2}A\beta_1+\frac{1}{2}A\beta_2$。
将 $A\beta_1 = B$，$A\beta_2 = B$ 代入上式，得到 $\frac{1}{2}A\beta_1+\frac{1}{2}A\beta_2=\frac{1}{2}B+\frac{1}{2}B = B$。
所以 $\frac{1}{2}(\beta_1 + \beta_2)$ 是 $Ax = B$ 的一个特解。
而 $A\left[\frac{1}{2}(\beta_1 - \beta_2)\right]=\frac{1}{2}A\beta_1-\frac{1}{2}A\beta_2=\frac{1}{2}B-\frac{1}{2}B = 0$，说明 $\frac{1}{2}(\beta_1 - \beta_2)$ 是齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的解，不是 $Ax = B$ 的特解，所以选项 C、D 错误。

步骤三：判断齐次线性方程组的基础解系

已知 $\alpha_1,\alpha_2$ 是齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的一个基础解系，则 $A\alpha_1 = 0$，$A\alpha_2 = 0$。

• 对于选项 A 中的 $\beta_1 - \beta_2$，$A(\beta_1 - \beta_2)=A\beta_1 - A\beta_2 = B - B = 0$，说明 $\beta_1 - \beta_2$ 是 $Ax = 0$ 的解，但它与 $\alpha_1$ 不一定线性无关，所以不能构成 $Ax = 0$ 的基础解系，选项 A 错误。
• 对于选项 B 中的 $\alpha_1+\alpha_2$，计算 $A(\alpha_1+\alpha_2)$：
  根据矩阵乘法的分配律可得 $A(\alpha_1+\alpha_2)=A\alpha_1 + A\alpha_2$。
  将 $A\alpha_1 = 0$，$A\alpha_2 = 0$ 代入上式，得到 $A\alpha_1 + A\alpha_2 = 0 + 0 = 0$，说明 $\alpha_1+\alpha_2$ 是 $Ax = 0$ 的解。
  又因为 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性无关，设 $k_1\alpha_1 + k_2(\alpha_1+\alpha_2)=0$，即 $(k_1 + k_2)\alpha_1 + k_2\alpha_2 = 0$，根据线性无关的定义可得 $\begin{cases}k_1 + k_2 = 0\\k_2 = 0\end{cases}$，解得 $k_1 = k_2 = 0$，所以 $\alpha_1$ 与 $\alpha_1+\alpha_2$ 线性无关，它们可以构成 $Ax = 0$ 的一个基础解系。

综上，方程组 $Ax = B$ 的通解可以表为 $\frac{1}{2}(\beta_1 + \beta_2)+C_1\alpha_1+C_2(\alpha_1+\alpha_2)$，选项 B 正确。