题目

每月收入X(元) 每月消费支出Y(元)-|||-800 550,600,650,700,750-|||-1000 650,700,740,800,850,880-|||-1200 790,840,900,940,980-|||-1400 800,930,950,1030,1080,1131 150-|||-1600 1020,1070,1100,1160,1180,1250-|||-1800 1100,1150,1200,1300,1350,1400-|||-2000 1200,1360,1400,1440,1450-|||-2200 1350,1370,1400,1520,1570,1600,1620-|||-2400 1370,1450,1550,1650,1750,1890-|||-2600 1500,1520,1750,1780,1800,1850,1910-|||-(1)对每一收入水平,计算平均的消费支出,E(Y|X1),即条件期望值。-|||-(2)以收入为横轴,消费支出为纵轴作散点图。在散点图中,作出(1)中的条件均值点。-|||-你认为X与Y之间、X与Y的均值之间的关系如何?-|||-(3)写出其总体回归函数。-|||-(4)如果对每一个X值,随机抽取一个Y值,结果如补表 2-3 所示,求样本回归函数。-|||-补表 2-3 随机抽取结果 单位:元-|||-Y 700 650 900 950 1 100 1 150 1200 1400 1550 1500-|||-X 800 1000 1200 1400 1 600 1800 2000 2200 2400 2600-|||-(5)在同一个图中,作出总体回归线与样本回归线,它们相同吗?

题目解答

答案

解析

本题主要考查了条件期望值的计算、散点图的绘制、总体回归函数和样本回归函数的求解以及对总体回归线和样本回归线关系的理解。解题思路如下：

  1. 计算条件期望值：对于每个每一收入水平，根据条件期望值的定义，用该收入水平下所有消费支出的总和除以消费支出的个数，即可得到条件期望值。
  2. 绘制散点图并分析关系：以收入为横轴，消费支出为纵轴，将每个收入水平对应的消费支出数据绘制成散点图，再将计算得到的条件均值点标注在图中，通过观察散点图和条件均值点的分布，分析$X$与$Y$之间以及$X$与$Y$的均值之间的关系。
  3. 确定总体回归函数：由于$X$与$Y$的均值间的关系近似线性，可任取两个条件均值点，利用两点式直线方程求出总体回归方程。
  4. 求解样本回归函数：根据给定的随机抽取结果，使用最小二乘法在Eviews软件中进行回归分析，得到样本回归函数。
  5. 绘制总体回归线和样本回归线并比较：在同一个散点图中，分别绘制总体回归线和样本回归线，观察它们是否相同，并分析原因。

（1）计算条件期望值

  • 当$X = 800$时，$E(Y|X = 800)=\frac{550 + 600 + 650 + 700 + 750}{5}=\frac{3250}{5}=650$。
  • 当$X = 1000$时，$E(Y|X = 1000)=\frac{650 + 700 + 740 + 800 + 850 + 880}{6}=\frac{4620}{6}=770$。
  • 当$X = 1200$时，$E(Y|X = 1200)=\frac{790 + 840 + 900 + 940 + 980}{5}=\frac{4450}{5}=890$。
  • 当$X = 1400$时，$E(Y|X = 1400)=\frac{800 + 930 + 950 + 1030 + 1080 + 1130 + 1150}{7}=\frac{7070}{7}=1010$。
  • 当$X = 1600$时，$E(Y|X = 1600)=\frac{1020 + 1070 + 1100 + 1160 + 1180 + 1250}{6}=\frac{6780}{6}=1130$。
  • 当$X = 1800$时，$E(Y|X = 1800)=\frac{1100 + 1150 + 1200 + 1300 + 1350 + 1400}{6}=\frac{7500}{6}=1250$。
  • 当$X = 2000$时，$E(Y|X = 2000)=\frac{1200 + 1360 + 1400 + 1440 + 1450}{5}=\frac{6850}{5}=1370$。
  • 当$X = 2200$时，$E(Y|X = 2200)=\frac{1350 + 1370 + 1400 + 1520 + 1570 + 1600 + 1620}{7}=\frac{10430}{7}=1490$。
  • 当$X = 2400$时，$E(Y|X = 2400)=\frac{1370 + 1450 + 1550 + 1650 + + 1750 + 1890}{6}=\frac{9660}{6}=1610$。
  • 当$X = 2600$时，$E(Y|X = 2600)=\frac{1500 + 1520 + 1750 + 1780 + 1800 + 1850 + 1910}{7}=\frac{12110}{7}=1730$。

（2）绘制散点图并分析关系

以收入为横轴，消费支出为纵轴，将每个收入水平对应的消费支出数据绘制成散点图，再将上述计算得到的条件均值点标注在图中。从散点图可以看出，$X$与$Y$之间是正向相关关系，即随着收入的增加，消费支出也呈增加趋势；$X$与$Y$的均值间的关系近似线性。

（3）确定总体回归函数

任取两点$(800, 650)$，$(2600, 1730)$，根据两点式直线方程$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1}=\frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$，可得：
$\frac{E(Y|X) - 650}{1730 - 650}=\frac{X - 800}{2600 - 800}$
$\frac{E(Y|X) - 650}{1080}=\frac{X - 800}{1800}$
$1800(E(Y|X) - 650)=1080(X - 800)$
$1800E(Y|X) - 1170000 = 1080X - 864000$
$1800E(Y|X)=1080X + 306000$
$E(Y|X)=0.6X + 170$

（4）求解样本回归函数

根据给定的随机抽取结果，使用最小二乘法在Eviews软件中进行回归分析，得到样本回归函数为$\hat{Y}_i = 244.5 + 0.5091X$，其中$R^2 = 0.9620$。

（5）绘制总体回归线和样本回归线并比较

在同一个散点图中，分别绘制总体回归线$E(Y|X)=0.6X + 170$（虚线）和样本回归线$\hat{Y}_i = 244.5 + 0.5091X$（实线）。可以看出两者并不相同，原因是存在随机误差，样本数据只是总体的一部分，不能完全代表总体的特征。