15.2022年12月底某街道职工家庭有20000户，以简单随机抽样方式组织一次空调器家庭普及率的调查。先抽取小样本40户进行探测调查，结果显示空调器家庭普及率达60%。这次调查要求允许误差不超过4%，把握程度为95.45%。分别用重复抽样和不重复抽样的计算公式，计算需要抽取多少家庭进行调查。如果允许误差不超过5%，把握程度为95%，则应抽选多少调查户？用不重复抽样的计算公式计算。

为了确定需要抽取多少家庭进行调查，我们需要使用简单随机抽样中比例的样本大小公式。公式根据抽样是否重复而不同。 ### 第一步：计算重复抽样下的样本大小 重复抽样下的样本大小公式为： \[ n = \left( \frac{Z^2 \cdot p \cdot (1-p)}{E^2} \right) \] 其中： - $ Z $ 是与所需把握程度相对应的Z分数。对于95.45%的把握程度，Z分数为2。 - $ p $ 是估计的比例（普及率），为0.60。 - $ E $ 是允许的误差，为0.04。 将这些值代入公式，我们得到： \[ n = \left( \frac{2^2 \cdot 0.60 \cdot (1-0.60)}{0.04^2} \right) = \left( \frac{4 \cdot 0.60 \cdot 0.40}{0.0016} \right) = \left( \frac{0.96}{0.0016} \right) = 600 \] ### 第二步：计算不重复抽样下的样本大小 不重复抽样下的样本大小公式为： \[ n = \frac{N \cdot Z^2 \cdot p \cdot (1-p)}{E^2 \cdot (N-1) + Z^2 \cdot p \cdot (1-p)} \] 其中： - $ N $ 是总体大小，为20,000。 - $ Z $ 是与所需把握程度相对应的Z分数，为2。 - $ p $ 是估计的比例（普及率），为0.60。 - $ E $ 是允许的误差，为0.04。 将这些值代入公式，我们得到： \[ n = \frac{20000 \cdot 2^2 \cdot 0.60 \cdot 0.40}{0.04^2 \cdot (20000-1) + 2^2 \cdot 0.60 \cdot 0.40} = \frac{20000 \cdot 4 \cdot 0.24}{0.0016 \cdot 19999 + 0.96} = \frac{19200}{31.9984 + 0.96} = \frac{19200}{32.9584} \approx 582.64 \] 由于样本大小必须是整数，我们向上取整到最接近的整数，因此不重复抽样下的样本大小为583。 ### 第三步：计算不重复抽样下允许误差为5%且把握程度为95%的样本大小 不重复抽样下的样本大小公式为： \[ n = \frac{N \cdot Z^2 \cdot p \cdot (1-p)}{E^2 \cdot (N-1) + Z^2 \cdot p \cdot (1-p)} \] 其中： - $ N $ 是总体大小，为20,000。 - $ Z $ 是与所需把握程度相对应的Z分数，为1.96。 - $ p $ 是估计的比例（普及率），为0.60。 - $ E $ 是允许的误差，为0.05。 将这些值代入公式，我们得到： \[ n = \frac{20000 \cdot 1.96^2 \cdot 0.60 \cdot 0.40}{0.05^2 \cdot (20000-1) + 1.96^2 \cdot 0.60 \cdot 0.40} = \frac{20000 \cdot 3.8416 \cdot 0.24}{0.0025 \cdot 19999 + 3.8416 \cdot 0.24} = \frac{18439.68}{49.9975 + 0.921984} = \frac{18439.68}{50.919484} \approx 362.13 \] 由于样本大小必须是整数，我们向上取整到最接近的整数，因此不重复抽样下的样本大小为363。 ### 最终答案 - 重复抽样下的样本大小：600 - 不重复抽样下的样本大小（允许误差4%，把握程度95.45%）：583 - 不重复抽样下的样本大小（允许误差5%，把握程度95%）：363 最终答案是： \[ \boxed{363} \]