设x>1，则lim_(ntoinfty)sqrt[n](x^n+x^(n)/(2))=（）.A. 1;B. 2;C. x;D. 2x.

本题考查数列极限的计算，解题思路是利用放缩法结合夹逼准则来求解极限。

步骤一：对原式进行放缩

已知$x\gt1$，对于$\sqrt[n]{x^{n}+x^{\frac{n}{2}}}$，因为$x^{n}+x^{\frac{n}{2}}\lt x^{n}+x^{n}=2x^{n}$，同时$x^{n}+x^{\frac{n}{2}}\gt x^{n}$。
所以可得$\sqrt[n]{x^{n}}\lt\sqrt[n]{x^{n}+x^{\frac{n}{2}}}\lt\sqrt[n]{2x^{n}}$。

步骤二：分别计算左右两边式子的极限

• 计算$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x^{n}}$：
  根据根式运算法则$\sqrt[n]{x^{n}} = x$，因为$x$为常数，所以$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x^{n}}=\lim_{n\to\infty}x = x$。
• 计算$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2x^{n}}$：
  根据根式运算法则$\sqrt[n]{2x^{n}}=\sqrt[n]{2}\cdot\sqrt[n]{x^{n}}=\sqrt[n]{2}\cdot x$。
  已知$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1$（$a\gt0$），所以$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2}=1$，则$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2x^{n}}=\lim_{n\to\infty}(\sqrt[n]{2}\cdot x)=x\cdot\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2}=x\times1 = x$。

步骤三：根据夹逼准则求原式极限

由夹逼准则可知，若$a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}$，且$\lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}c_{n}=A$，则$\lim_{n\to\infty}b_{n}=A$。
因为$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x^{n}}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2x^{n}} = x$，且$\sqrt[n]{x^{n}}\lt\sqrt[n]{x^{n}+x^{\frac{n}{2}}}\lt\sqrt[n]{2x^{n}}$，所以$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x^{n}+x^{\frac{n}{2}}}=x$。