题目

设总体X~N(μ,16)，X_(1),X_(2),...,X_(10)是来自总体X的一个容量为10的简单随机样本，S^2为其样本方差，且P(S^2>alpha)=0.1，则alpha=( )。（chi_(0.1)^2(9)=14.684，chi_(0.1)^2(10)=15.987）A. 25.345B. 29.025C. 26.105D. 28.421

设总体X~N(μ,16)，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{10}$是来自总体X的一个容量为10的简单随机样本，$S^{2}$为其样本方差，且$P(S^{2}>\alpha)=0.1$，则\alpha=( )。（$\chi_{0.1}^{2}(9)=14.684$，$\chi_{0.1}^{2}(10)=15.987$）

A. 25.345

B. 29.025

C. 26.105

D. 28.421

题目解答

答案

C. 26.105

解析

本题考查正态总体样本方差的分布以及卡方分布的性质。解题的关键思路是利用正态总体样本方差与卡方分布的关系，将已知的概率条件转化为卡方分布的形式，再结合给定的卡方分布分位数来求解$\alpha$的值。

  1. 首先明确正态总体样本方差的分布性质：
    • 若总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自总体$X$的一个容量为$n$的简单随机样本，$S^{2}$为其样本方差，则$\frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n - 1)$。
    • 在本题中，总体$X\sim N(\mu,16)$，即$\sigma^{2}=16$，样本容量$n = 10$，所以$\frac{(10 - 1)S^{2}}{16}=\frac{9S^{2}}{16}\sim\chi^{2}(9)$。
  2. 然后对已知概率$P(S^{2}>\alpha)=0.1$进行转化：
    • 由$P(S^{2}>\alpha)=0.1$，两边同时乘以$\frac{9}{16}$可得$P(\frac{9S^{2}}{16}>\frac{9\alpha}{16}) = 0.1$。
    • 因为$\frac{9S^{2}}{16}\sim\chi^{2}(9)$，所以$P(\frac{9S^{2}}{16}>\frac{9\alpha}{16}) = 0.1$可写成$P(\chi^{2}(9)>\frac{9\alpha}{16}) = 0.1$。
  3. 最后根据卡方分布分位数的定义求解$\alpha$：
    • 已知$\chi_{0.1}^{2}(9)=14.684$，根据卡方分布分位数的定义，$P(\chi^{2}(9)>\chi_{0.1}^{2}(9)) = 0.1$。
    • 对比$P(\chi^{2}(9)>\frac{9\alpha}{16}) = 0.1$和$P(\chi^{2}(9)>\chi_{0.1}^{2}(9)) = 0.1$，可得$\frac{9\alpha}{16}=\chi_{0.1}^{2}(9)=14.684$。
    • 求解$\alpha$，由$\frac{9\alpha}{16}=14.684$，两边同时乘以$\frac{16}{9}$，则$\alpha=\frac{14.684\times16}{9}$。
    • 计算$\frac{14.684\times16}{9}=\frac{234.944}{9}\approx26.105$。