设随机变量 X sim N(3, sigma^2), (sigma > 0)，记 P3 A. 0.5B. 0.4C. 0.9D. 0.1

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算，涉及标准化变换、对称性应用以及累积分布函数的理解。

解题核心思路：

1. 标准化处理：将原正态变量转化为标准正态变量，利用标准正态分布表或性质求解。
2. 对称性分析：利用正态分布关于均值对称的特点，快速确定相关区间的概率关系。
3. 累积分布函数：通过已知概率反推关键分位点，进而计算目标概率。

破题关键点：

• 标准化公式：将$X \sim N(3, \sigma^2)$转化为$Z = \frac{X-3}{\sigma} \sim N(0,1)$。
• 对称性应用：通过均值点$X=3$，分析左右区间的概率关系。
• 分位点计算：结合$\Phi\left(\frac{3}{\sigma}\right) = 0.9$，直接关联目标概率$P\{X < 0\}$。

步骤1：标准化处理
设$Z = \frac{X - 3}{\sigma}$，则$Z \sim N(0,1)$。原条件$P\{3 < X < 6\} = 0.4$转化为：
$P\left\{0 < Z < \frac{3}{\sigma}\right\} = 0.4$

步骤2：利用标准正态分布性质
根据标准正态分布的对称性：
$\Phi\left(\frac{3}{\sigma}\right) - \Phi(0) = 0.4 \implies \Phi\left(\frac{3}{\sigma}\right) = 0.4 + 0.5 = 0.9$
查标准正态分布表可知，$\frac{3}{\sigma} \approx 1.28$（精确值不影响后续计算）。

步骤3：计算目标概率
要求$P\{X < 0\}$，标准化后：
$P\{X < 0\} = P\left\{Z < -\frac{3}{\sigma}\right\} = 1 - \Phi\left(\frac{3}{\sigma}\right) = 1 - 0.9 = 0.1$

步骤4（替代方法）：对称性分析
由于$X$关于$3$对称，$P\{3 < X < 6\} = 0.4$对应$P\{0 < X < 3\} = 0.4$。因此：
$P\{X < 0\} = P\{X < 3\} - P\{0 < X < 3\} = 0.5 - 0.4 = 0.1$